五、最小生成树——克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

        现在我们来换一种思考方式，普里姆（Prim）算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。这就像是我们如果去参观某个展会，例如世博会，你从一个入口进去，然后找你所在位置周边的场馆中你最感兴趣的场馆观光，看完后再用同样的办法看下一个。可我们为什么不事先计划好，进园后直接到你最想去的场馆观看呢？

        同样的思路，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：

/*边集数组Edge结构*/
typedef struct
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;

        边集数组是由二维数组构成。这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成，如下图所示。

         其中begin是存储起点下标，end是存储终点下标，weight是存储权值。 

下图为某个带权无向图以及它的边集数组

可以发现这个边集数组是按weight（权值）来排序的。 

具体的实现方式如下：

#include
#include
#include
using namespace std;

#define MAXVEX 100//最大顶点数
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上的权值类型
typedef struct
{
	VertexType vexs[MAXVEX];//顶点表
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];//邻接矩阵
	int numVertexte;//当前顶点数
	int numEdges;//当前边数
}MGraph;

/*边集数组Edge结构*/
typedef struct
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;

void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
	vector edges(G.numVertexte);//定义边集数组
	vector parents(G.numVertexte);//该数组用来判断边与边是否形成环路

	/*初始化边集数组*/
	for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < G.numVertexte; ++j)
		{
			if (G.arc[i][j] != 0 && G.arc[i][j] != INT_MAX)
			{
				edges.push_back({ i,j,G.arc[i][j] });
				G.arc[j][i] = INT_MAX;
			}
		}
	}

	sort(edges.begin(), edges.end(), [&](const Edge& a, const Edge& b)
		{
			return a.weight <= b.weight;
		});//让边集数组按照权值来从小到大排序

	for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i)
	{
		parents[i] = 0;
	}

	for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i)//循环每一条边
	{
		int n = Find(parents, edges[i].begin);
		int m = Find(parents, edges[i].end);
		if (m != n)//如果m != n，说明此边没有和现有生成树形成环路
		{
			parents[n] = m;
			cout << edges[i].begin << edges[i].end << edges[i].weight << endl;
		}
	}
}

int Find(vector& parents, int f)//寻找连线顶点的尾部下标
{
	while (parents[f] > 0)
	{
		f = parents[f];
	}
	return f;
}

最终的结果如下图所示： 

 现在我们着重来看一下数组parents的含义：

1. 当i = 0时，计算得知n = 4，m = 7，且m != n，那么我们将（v4,v7）纳入最小生成树中，此时的parents数组为{0,0,0,0,7,0,0,0,0}。
2. 当i = 1时，计算得知n = 2，m = 8，且m != n，那么我们将（v2,v8）纳入最小生成树中，此时的parents数组为{0,0,8,0,7,0,0,0,0}。
3. 当i = 2时，计算得知n = 0，m = 1，且m != n，那么我们将（v0,v1）纳入最小生成树中，此时的parents数组为{1,0,8,0,7,0,0,0,0}。
4. 当i = 3时，计算得知n = 0，m = 5，且m != n，那么我们将（v0,v5）纳入最小生成树中，但我们发现此时已经有了parents[0] = 1，即v0->v1了，那么在想要从v0->v5，就要途径v1了，即变为了v0->v1->v5，此时的parents数组为{1,5,8,0,7,0,0,0,0}。
5. 当i = 4时，计算得知n = 1，m = 8，且m != n，那么我们将（v1,v8）纳入最小生成树中，但我们发现此时已经有了parents[1] = 5，即v1->v5了，那么在想要从v1->v8，就要途径v5了，即变为了v1->v5->v8，此时的parents数组为{1,5,8,0,7,8,0,0,0}。
6. 当i = 5时，计算得知n = 3，m = 7，且m != n，那么我们将（v3,v7）纳入最小生成树中，此时的parents数组为{1,5,8,7,7,8,0,0,0}
7. 当i = 6时，计算得知n = 1，m = 6，且m != n，那么我们将（v1,v6）纳入最小生成树中，但我们发现此时已经有了parents[1] = 5，即v1->v5了，那么在想要从v1->v6，就要途径v5和v8了，即变为了v1->v5->v8->v6，此时的parents数组为{1,5,8,7,7,8,0,0,6}。
8. 当i=7时，会得到m = n的结果，即会形成环，所以跳过这次循环。
9. 当i=8时，会得到m = n的结果，即会形成环，所以跳过这次循环。
10. 当i = 9时，计算得知n = 6，m = 7，且m != n，那么我们将（v6,v7）纳入最小生成树中，此时的parents数组为{1,5,8,7,7,8,7,0,6}。
11. 此后边的循环均造成环路，我们不再讨论。

        如果不考虑初始化边集数组，和将边集数组按照权值排序的时间复杂度，那么此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(log e)，而外面有一个for循环e次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(elog e)。

        克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。