Kruskal（克鲁斯卡尔）算法(图+代码+例题)

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

Kruskal算法是求解 最小生成树 的经典算法之一

0.准备工作

在学习 Kruskal算法 之前，需要先学习一种数据结构-并查集（Disjoint-set data structure），它可以快速的将两个不相交的集合合并，也可以查询两个元素是否在同一个集合当中

1.并查集的基本思想

合并：

查询：

2.代码实现

//初始化,有 0 ~ n-1 共n个元素
void init(){
    for(int i = 0;i < n;i++) f[i] = i;
}

//递归查找祖宗结点
int find(int x){
    //只有当 一个结点的父结点 等于 它本身，才找到了祖宗节点
    if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);
    return f[x];
}

// 合并
void merge(int a,int b){
    //如果已经是在同一个集合就不用合并了
    if(find(a) != find(b))
        f[find(a)] = find(b);
}

1.Kruskal算法的基本思想

首先先定义一个结构存储所有的边 $edge$ $(from,to,weight(权值))$，然后再按权值从小到大的排序，这样我们从头开始遍历，每一次取出来的边都是权值最小的一条边。每次先判断取出的边的两点是否已经在一个集合中了，不在一个集合中就合并，记录权值，反之就跳过本次循环。循环结束，我们就将所有的结点都加到了一个集合中。

1. 取出第一条边，集合中的元素为$\{\{1\}，\{2\}，\{3\}，\{4\}，\{5，6\}，\{7\}\}$
   

2. 取出第二条边，集合中的元素为$\{\{1\}，\{2,3\}，\{4\}，\{5，6\}，\{7\}\}$
   

3. 取出第三条边，集合中的元素为$\{\{1\}，\{2,3\}，\{4,5,6\}，\{7\}\}$
   

4. 取出第四条边，集合中的元素为$\{\{1\}，\{2,3\}，\{4,5,6,7\}\}$
   

5. 取出第五条边，集合中的元素为$\{\{1,2,3\}，\{4,5,6,7\}\}$
   

6. 取出第六条边，集合中的元素为$\{\{1,2,3,4,5,6,7\}\}$，结束。最小生成树的权重为71。
   

2.代码实现

输入：

7 11
1 2 18
1 6 19
1 7 18
2 7 20
2 3 8
3 4 20
4 7 15
4 6 16
4 5 9
5 6 3
6 7 15

输出：

5 ---> 6  权重为:3 
2 ---> 3  权重为:8 
4 ---> 5  权重为:9 
4 ---> 7  权重为:15 
1 ---> 2  权重为:18 
1 ---> 7  权重为:18 
71

C++代码：

#include
using namespace std;

const int N = 1e5+10,M = 2e5+10,INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N];
int n,m;

//存储边
struct Edge{
    int a,b,w;
    
    //重载运算符，方便按照权重从小到大排序
    bool operator <(const Edge &e) const{
        return w < e.w;
    }
    
} edge[M];

//查找祖宗结点
int find(int x){
    if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);
    return f[x];
}

int kruskal(){
    for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;
    
    
    sort(edge,edge+m);
    
    //记录最小生成树的权值    记录边数
    int ans = 0,cnt = 0;
    
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int a = edge[i].a,b = edge[i].b,w = edge[i].w;
        
        int x = find(a),y = find(b);
        
        //如果edge[i]边的 两个结点不在同一个集合，那就将这两个结点合并到一个集合，记录边数
        if(x != y){
            f[x] = y;
            ans += w;
            cnt++;
            printf("%d ---> %d  权重为:%d \n",a,b,w);
        }
    }
    //最小生成树会连接所有的结点，一共有n个点，所以会有n-1条边，如果cnt < n-1 说明有的点不可达
    //不能形成最小生成树
    if(cnt < n - 1) return INF;
    return ans;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edge[i] = {a,b,w};
    }
    int t = kruskal();
    if(t == INF) puts("无法形成最小生成树！！！");
    else printf("%d\n",t);
    return 0;
}

Java代码：

package com.wurusai.graph;

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    private static final int N = 100010;
    private static final int INF = (int)Math.pow(10,9);

    private static int[] f;
    private static int n,m;
    private static Edge[] edges;


    private static int find(int x){
        if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);
        return f[x];
    }

    private static int kruskal(){
        for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;
        Arrays.sort(edges, new Comparator<Edge>() {
            @Override
            public int compare(Edge o1, Edge o2) {
                return o1.w - o2.w;
            }
        });

        int ans = 0,cnt = 0;

        for(int i = 0;i < m;i++){
            int a = edges[i].a,b = edges[i].b,w = edges[i].w;
            int x = find(a),y = find(b);
            if(x != y){
                f[x] = y;
                ans += w;
                cnt++;
                System.out.println(a + " ---> "+b+"  权值为 "+w);
            }
        }
        if(cnt < n - 1) return INF;
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入点数和边数：");
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        edges = new Edge[m];
        f = new int[N];

        for(int i = 0;i < m;i++){
            int a,b,w;
            a = sc.nextInt();
            b = sc.nextInt();
            w = sc.nextInt();
            edges[i] = new Edge(a,b,w);
        }

        int t = kruskal();
        if(t == INF) System.out.println("无法形成最小生成树！！！");
        else System.out.println(t);
    }
}

class Edge{
    public int a,b,w;

    public Edge(int a,int b,int w){
        this.a = a;
        this.b = b;
        this.w = w;
    }

    public Edge(){

    }
}

3.例题

题目链接

Kruskal算法求最小生成树

题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示节点 $u$ 和节点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

• $1\le n\le 10^5$
• $1\le m\le 2\ast 10^5$
• 图中涉及边的边权的绝对值均 不超过 $1000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

时间复杂度：$O(m\times logm)$

代码：

#include
using namespace std;

const int N = 1e5+10,M = 2e5+10,INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N];
int n,m;

struct Edge{
    int a,b,w;
    
    bool operator <(const Edge &e) const{
        return w < e.w;
    }
    
} edge[M];

int find(int x){
    if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);
    return f[x];
}

int kruskal(){
    for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;
    sort(edge,edge+m);
    int ans = 0,cnt = 0;
    
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int a = edge[i].a,b = edge[i].b,w = edge[i].w;
        int x = find(a),y = find(b);
        if(x != y){
            f[x] = y;
            ans += w;
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt < n - 1) return INF;
    return ans;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edge[i] = {a,b,w};
    }
    int t = kruskal();
    if(t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n",t);
    return 0;
}