计算机算法分析与设计（19）---回溯法(装载问题)

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1. 题目描述

2. 算法思路

 1. 思路： 容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。

• (1) 首先将第一艘轮船尽可能装满。
• (2) 将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

 2. 将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近 $c_1$。由此可知，装载问题等价于以下的 $0-1$ 背包问题。

 3. 算法设计：用回溯法解决装载问题时，用子集树表示其解空间显然是最合适的。用可行性约束函数可剪去不满足约束条件。

 4. 令（1）$bestw$：当前最优载重量。（2）$cw$：当前扩展结点 $Z$ 的载重量。（3）$r$：剩余集装箱的重量。（4）$w[i]$：$i$ 节点（ $i$ 集装箱）的重量。

• 当 $cw+w[i]<=c_1$ 时，可以放。
• 当 $cw+r(限界函数)<=bestw$ 时，可将 $Z$ 的右子树剪去（此时右子树的所有方案一定大于轮船 $1$ 的载重量）。
• 当 $cw+r(限界函数)>bestw$ 时，讨论 $i$ 节点放和不放的情况。

3. 例题分析

4. 代码编写

时间复杂度 $O(2^n)$

#include 
using namespace std;

//定义全局变量
int x[100]; //表示当前解，0代不表放，1代表放
int bestx[100];//表示最优解
int w[100];// 表示集装箱i的重量
int bestw;//当前最优装载重量
int r;//剩余集装箱的重量
int n; //集装箱的数量
int c1;//轮船1的载重量
int c2;//轮船2的载重量
int cw;//当前轮船1的载重量

void HuiSu (int i)
{
    if(i>n) //判断是否达到叶子节点
    {
        if(cw>bestw)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                bestx[j]=x[j];
            }
            bestw=cw;
        }
    }
    r=r-w[i];
    if(cw+w[i]<=c1) //判断该集装箱到底放不放
    {
        x[i]=1;
        cw=cw+w[i];
        HuiSu(i+1);
        //当节点i的子树延伸结束时要返回i节点
        x[i]=0;
        cw=cw-w[i];

    }
    if(cw+r>bestw) //判断先不放该集装箱后是否还有可行解
    {
        x[i]=0;
        HuiSu(i+1);
    }
    r=r+w[i];//当节点i的子树延伸结束时要返回i节点
}

int main()
{	
    cout<<"请输入集装箱的数量："<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入轮船1,2的载重量："<<endl;
    cin>>c1>>c2;
    cout<<"请输入每个集装箱的重量："<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
    }
    
    //初始化 
    r=0;
    cw=0;
    bestw=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        r=r+w[i];
    }
    
    HuiSu(1);
    
    int c2w=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(bestx[i]==0)
        {
            c2w=c2w+w[i];
        }
    }
    if(c2w>c2)
    {
    	cout<<"装不下啊！"<<endl;
	}
    else
    {
        cout<<"轮船1装入的集装箱为：";
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(bestx[i]==1)
                cout<<i<<" ";
        }
        cout<<endl;
        cout<<"轮船2装入的集装箱为：";
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(bestx[i]!=1)
                cout<<i<<" ";
        }
    }
    return 0; 
}