数据结构初阶--算法的时间复杂度和空间复杂度

算法效率

算法运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源

衡量一个算法的好坏标准：

一般是从时间和空间两个维度来衡量的
时间复杂度主要衡量一个算法的 运行快慢
而空间复杂度主要衡量一个算法运行所 需要的额外空间

注：计算机发展早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅猛发展（摩尔定律），计算机的存储容量已经达到很高的程度（又大又便宜）。所以现在已经不特别关注一个算法的空间复杂度

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时间复杂度

时间复杂度的定义：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个 1️⃣ 函数，它定量 描述了该算法的运行时间。
一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是 不能算出来的，只有你把你的程序放在 2️⃣ 机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦。所以 我们不算时间，才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的 3️⃣ 执行次数，为算法的时间复杂度 。这里不是算法执行所耗费的实际时间，而是算法中的 基本操作的执行次数。
找到 某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

注：

1️⃣算法是函数，但不是C语言里面用到的那种函数，而是数学中带有未知数的函数表达式

2️⃣举个例子，我们用冒泡排序法对100万个数进行排序，我们分别用10年前的2核CPU、2g内存的机器和今天8核CPU、8g内存的机器去跑，运行时间能一样么？故环境不同，具体运行时间就不同

3️⃣排序上面那个案例，算法一执行了100万次，算法二执行了100万*100万次，肯定算法一好。而且提一句，执行次数是循环次数，不是指令次数（++i,j++这种就是指令次数）

举例：

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
            ++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度的函数式：Fun1(N)=N*N+2*N+10（你看，这个不就是个带有未知数N的函数表达式么）

实际我们计算时间复杂度时，我们其实并 不一定要计算精确的执行次数，而只需要 1️⃣ 大概执行次数，那么这里我们使用 2️⃣ 大O的渐进表示法。

注：

1️⃣我们仔细琢磨F(N)=N*N+2*N+10，我们会发现：N越大，F(N)中，2*N+10对值的影响越小

和上面一比较，发现确实N越大，2*N+10对值的影响越小

2️⃣大O的渐进表示法说白了就是估算，估算表达式中影响最大的那个。比如这个案例，F(N)的大O渐进表达式就是：O(N*N)

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：

1️⃣用常数1取代运行时间中的所有加法常数
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
如果最高阶项存在且不是1，则 2️⃣ 去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶
简单来说：大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数

3️⃣另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

示例一：2️⃣

void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度为：O(N)（2*N+10去掉10后再把N前相乘的常数去掉）

示例二：

void Func2(int N, int M) 
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度为：O(N+M)

注：一般情况下，时间复杂度计算时未知数都是用的N,但是也可以用M、K等其它的未知数表示

如果题目中提了以下信息，者需要进一步计算时间复杂度

• M远大于N，时间复杂度就是O(M)

• N远大于M，时间复杂度就是O(N)

• N和M差不多大，时间复杂度就是O(M)或O(N)

示例三：1️⃣

void Func3(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度为：O(1)

注：并不是执行一次，而是表示运行常数次

示例四：计算strchr的时间复杂度？3️⃣

const char * strchr ( const char * str, int character );

注：strchr--库函数，作用是在字符串找字符，找到则返回对应地址（类似于遍历算法）

while (*str)
{
    if (*str == character)
        return str;
    else
        ++str;
}

图解：

注：当一个算法随着输入（这里是查找对象）的不同，而时间复杂度不同时。时间复杂度会做悲观的预期，看最坏的情况（这里最坏的情况是查找的对象是最后一个字符，运行N次）

就好像老板让你写一个程序，他问你估摸着多久出结果。你要是告诉它最理想的情况，说最快一秒。可是过去了两分钟还没出结果，老板就觉得你让他等了这么久，浪费了它的时间，以后升职加薪就别想了。可你要是说最迟一小时即可，那你只要在一小时前出结果，老板都觉得你还可以。

示例五：计算冒泡排序的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n) 
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i - 1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i - 1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

执行次数表达式：n-1+n-2+n-3+...+1=n（n-1）/2=1/2*n^2 - 1/2*n（等差求和）

时间复杂度为：O(N^2)

N个元素， 冒泡排序第一轮比较N-1次
第二轮N-2次
.
.
.
最后一轮1次
1+2+3……+N-1=N*(N-1)/2=F（N）
对F（N）影响最大的一项是N^2/2，所以时间复杂度：O（N^2）

示例六:计算二分查找的时间复杂度

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n - 1;
    while (begin < end)
    {
        int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid + 1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

执行次数表达式：

注：为最坏情况(刚好在正中间是最好情况，最坏情况是找不到，程序会把所有可能走一遍)下的查找次数，N为数组长度
反向思考：从找到开始回推，每回推一次个数x2，经过次最后总个数为数组总长度

时间复杂度为：

注：让你们见识一下二分查找的厉害

牛逼吧？

示例七：计算阶乘递归斐波那契数列的时间复杂度？

long long Fac(size_t N) 
{
     if(0 == N)
     return 1;
     
     return Fac(N-1)*N; 
}

执行次数表达式：n

时间复杂度为：O(N)

示例八： 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？

long long Fib(size_t N)
{
    if (N < 3)
        return 1;

    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

(C是右边缺的次数，实际上右边的递归分支会比左边更快结束，即右边会缺一些项。但是N取较大值时可以忽略这些不计)

时间复杂度为：

注：斐波那契数列贼坑，N<50的时候VS还可以秒算，N>50后执行次数上了一亿亿，要等忒久

故斐波那契数列的递归写法完全是一个实际没用的算法，太慢了。

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空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时 1️⃣ 额外 占用存储空间大小的量度
空间复杂度 不是计算程序占用了多少bytes的空间，而是 变量的个数
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大O渐进表示法

注：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

常见空间复杂度计算举例

示例一：计算BubbleSort的空间复杂度？1️⃣

void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i - 1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i - 1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

冒泡循环空间复杂度：O(1)

注：这里数组是创建好的不是临时占用的，这里只有三个额外变量end i 和exchang（a和n是函数定义中本来就有的，不是额外变量），各自占用一个空间。每次循环结束后end i exchang都销毁，下一次循环后创建的end i exchang和上一次共用的同一块空间，循环了N次，end只占了一个空间，i和exchange也一样，因为是常数3，所以空间复杂度是O(1)。

示例二：计算Fibonacci的空间复杂度？

// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if (n == 0)
        return NULL;

    long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    }
    return fibArray;
}

注：空间复杂度看的是额外的空间消耗，当斐波那契数列分支调用到头时开始返回，返回会销毁函数栈帧，所以最多额外开辟N个函数栈帧（空间）

空间复杂度： O(N)

时间复杂度：O(N)

示例三： 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？

long long Fac(size_t N) 
{
     if(N == 0)
     return 1;
     
     return Fac(N-1)*N; 
}

空间复杂度：O(N)

时间复杂度：O(N)

注：递归调用了N次，额外开辟N个函数栈帧（空间）

示例四：计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？

long long Fib(size_t N)
{
    if (N < 3)
        return 1;

    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

空间复杂度：O(N)

时间复杂度为：

注：

空间是可以重复利用，不累计的

时间是一去不复返，累计的

常见复杂度对比

复杂度的oj练习：https://blog.csdn.net/weixin_67916525/article/details/129103818