Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案

参考文献:

  1. [HS14] S. Halevi and V. Shoup. Algorithms in HElib. In Advances in Cryptology–CRYPTO 2014, pages 554–571. Springer, 2014.
  2. [HS15] S. Halevi and V. Shoup. Bootstrapping for HElib. In Advances in Cryptology–EUROCRYPT 2015, pages 641–670. Springer, 2015.
  3. [CHKKS18] Cheon J H, Han K, Kim A, et al. Bootstrapping for approximate homomorphic encryption[C]//Advances in Cryptology–EUROCRYPT 2018: 37th Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques, Tel Aviv, Israel, April 29-May 3, 2018 Proceedings, Part I 37. Springer International Publishing, 2018: 360-384.
  4. [CGGI20] Chillotti I, Gama N, Georgieva M, et al. TFHE: fast fully homomorphic encryption over the torus[J]. Journal of Cryptology, 2020, 33(1): 34-91.
  5. [BGGJ20] Boura C, Gama N, Georgieva M, et al. Chimera: Combining ring-lwe-based fully homomorphic encryption schemes[J]. Journal of Mathematical Cryptology, 2020, 14(1): 316-338.
  6. TFHE 的全同态模结构(FHE Module Structure)-CSDN博客

文章目录

  • CKKS Bootstrapping
    • Trigonometric function
    • Homomorphic Matrix Multiplication
  • Chimera
    • FHE module structure & External product
    • TRLWE as Bridge
    • Application
  • BFV
    • BFV over Torus
    • BFV to TFHE
    • TFHE to BFV
    • BFV-big-number
  • CKKS
    • CKKS over Torus
    • CKKS to TFHE
    • TFHE to CKKS

CKKS Bootstrapping

Trigonometric function

在 [CKKS18] 中,作者仅仅给出了 Level FHE,并没有给出 Prue FHE,因为 CKKS 自身并不支持计算模约简,但是自举过程中的模约简却是必要的。[CHKKS18] 利用 CKKS 支持近似计算的优势,采取三角函数来近似模约简
S ( x ) : = q 2 π sin ⁡ ( 2 π q x ) ≈ F ( x ) : = [ x ] q S(x):=\dfrac{q}{2\pi}\sin(\dfrac{2\pi}{q}x) \approx F(x):=[x]_q S(x):=2πqsin(q2πx)F(x):=[x]q

然后将 sin ⁡ \sin sin 归约到 exp ⁡ \exp exp 的计算上,
E ( x ) : = q 2 π exp ⁡ ( 2 π i q x ) E(x) := \dfrac{q}{2\pi}\exp\left(\dfrac{2\pi i}{q}x\right) E(x):=2πqexp(q2πix)

最后提取虚部,获得模约减结果,
S ( x ) = I m ( E ( x ) ) = 1 2 ( E ( x ) − E ( − x ) ) S(x) = Im(E(x)) = \dfrac{1}{2}(E(x)-E(-x)) S(x)=Im(E(x))=21(E(x)E(x))

CKKS 自举的流程为:

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第1张图片

Homomorphic Matrix Multiplication

我们需要在 coefficient packingslot packing 之间做变换:

  • Coeff To Slot,就是对 slots 做 InvDFT 变换
  • Slot To Coeff,就是对 slots 做 DFT 变换

对应的图形为:
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 16: \begin{array} &̲& \text{IDFT}(m…

为了计算 slots 的(公开)线性变换,[CHKKS18] 采取了 [HS14] 的矩阵-向量乘积的斜对角线算法

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第2张图片

它的每个 c t j ct_j ctj 是独立的,可以完全并行。旋转+数乘的数量 O ( N ) O(N) O(N),旋转+数乘的深度 O ( 1 ) O(1) O(1),使用 [HS15] 的大步小步法(Baby-Step Giant-Step algorithm)可以获得更低的复杂度:只需要 O ( N ) O(\sqrt N) O(N ) 次旋转,

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第3张图片

相较而言,同态的 FFT/NTT 需要 O ( log ⁡ N ) O(\log N) O(logN) 层蝴蝶,并且每层的位移 2 j 2^j 2j 需要使用 Benes 网络实现。问题是:上述矩阵乘算法中的 R o t ( c t , j ) Rot(ct,j) Rot(ct,j),它真就是 Galois 群所提供的基本旋转置换么?是否也需要 Benes 网络呢?哦!可以按照 ζ → ζ 3 \zeta \to \zeta^3 ζζ3 导致的旋转顺序对矩阵的行列做重排,然后仅使用基本的旋转置换就够了。

由于 CKKS 加密的是实系数多项式,只有一半的槽可用,另外一半与之共轭。

  • 对于 Coeff To Slot,我们把 N N N 个实系数,迁移到 2 2 2 个密文的 N / 2 N/2 N/2 个复数槽中。因此需要把 N / 2 × N N/2 \times N N/2×N 的 DFT 矩阵切分为两个 N / 2 × N / 2 N/2 \times N/2 N/2×N/2 子矩阵,
    D F T = [ U 0 ∣ U 1 ] ,    I D F T = 1 N ⋅ D F T † DFT = [U_0|U_1],\,\, IDFT = \dfrac{1}{N} \cdot DFT^\dagger DFT=[U0U1],IDFT=N1DFT

    两个子矩阵分别为
    U 0 = [ 1 ζ 0 ⋯ ζ 0 N / 2 − 1 1 ζ 1 ⋯ ζ 1 N / 2 − 1 ⋮ ⋱ 1 ζ N / 2 − 1 ⋯ ζ N / 2 − 1 N / 2 − 1 ] ,    U 1 = [ ζ 0 N / 2 ζ 0 N / 2 + 1 ⋯ ζ 0 N − 1 ζ 1 N / 2 ζ 1 N / 2 + 1 ⋯ ζ 1 N − 1 ⋮ ⋱ ζ N / 2 − 1 N / 2 ζ N / 2 − 1 N / 2 + 1 ⋯ ζ N / 2 − 1 N − 1 ] U_0 = \begin{bmatrix} 1 & \zeta_0 &\cdots & \zeta_0^{N/2-1}\\ 1 & \zeta_1 &\cdots & \zeta_1^{N/2-1}\\ \vdots && \ddots\\ 1 & \zeta_{N/2-1} &\cdots & \zeta_{N/2-1}^{N/2-1}\\ \end{bmatrix},\,\, U_1 =\begin{bmatrix} \zeta_0^{N/2} & \zeta_0^{N/2+1} &\cdots & \zeta_0^{N-1}\\ \zeta_1^{N/2} & \zeta_1^{N/2+1} &\cdots & \zeta_1^{N-1}\\ \vdots && \ddots\\ \zeta_{N/2-1}^{N/2} & \zeta_{N/2-1}^{N/2+1} &\cdots & \zeta_{N/2-1}^{N-1}\\ \end{bmatrix} U0= 111ζ0ζ1ζN/21ζ0N/21ζ1N/21ζN/21N/21 ,U1= ζ0N/2ζ1N/2ζN/21N/2ζ0N/2+1ζ1N/2+1ζN/21N/2+1ζ0N1ζ1N1ζN/21N1

    设置 ζ j = ζ 2 j + 1 \zeta_j=\zeta^{2j+1} ζj=ζ2j+1,其中的 ζ = exp ⁡ ( π i / N ) \zeta=\exp(\pi i/N) ζ=exp(πi/N) N N N 次本原根

    槽的原始内容为 z ∈ C N / 2 z \in \mathbb C^{N/2} zCN/2,计算 z 0 = 1 N ( U 0 † ⋅ z + U 0 T ⋅ z ˉ ) z_0=\dfrac{1}{N}(U_0^\dagger \cdot z+U_0^T \cdot \bar z) z0=N1(U0z+U0Tzˉ) z 1 = 1 N ( U 1 † ⋅ z + U 1 T ⋅ z ˉ ) z_1=\dfrac{1}{N}(U_1^\dagger \cdot z+U_1^T \cdot \bar z) z1=N1(U1z+U1Tzˉ),满足 [ z 0 ∣ z 1 ] = I n v D F T ( z ) [z_0|z_1]=InvDFT(z) [z0z1]=InvDFT(z)

  • 对于 Slot To Coeff,我们把 2 2 2 个密文的 N / 2 N/2 N/2 个复数槽中存放的 N N N 个实数,迁移回单个密文的 N N N 个多项式系数上。这就是 Coeff To Slot 的逆过程,分别计算出 z 0 ′ = U 0 ⋅ z 0 z_0'=U_0 \cdot z_0 z0=U0z0 z 1 ′ = U 1 ⋅ z 1 z_1'=U_1 \cdot z_1 z1=U1z1,最后得到 z = z 0 ′ + z 1 ′ = D F T ( [ z 0 ∣ z 1 ] ) z=z_0'+z_1'= DFT([z_0|z_1]) z=z0+z1=DFT([z0z1])

Chimera

[CGGI20] 给出了实数环面(Torus)上的 T( R )LWE-based FHE 算法 TFHE,其密文的底层代数结构是连续的环面(而非 BGV/BFV、CKKS 的离散的环)。[BGGJ20] 提出了如何把 BFV、CKKS 的明密文空间都映射到环面上,可以将 BFV、CKKS、TFHE 的明密文空间统一起来,实现了三者之间的密文转换。

开源代码:DPPH/chimera-iDash2018

统一的明文空间是 T R \mathbb T_R TR,统一的密文空间是 T R 2 \mathbb T_R^2 TR2,它们都是 R = Z [ x ] / ( x N + 1 ) R=\mathbb Z[x]/(x^N+1) R=Z[x]/(xN+1) 模。

  • BFV 方案:明文空间 R P ≅ P − 1 R / R ⊆ T R R_P \cong P^{-1}R/R \subseteq \mathbb T_R RPP1R/RTR,密文空间 R q ≅ q − 1 R / R ⊆ T R R_q \cong q^{-1}R/R \subseteq \mathbb T_R Rqq1R/RTR
  • CKKS 方案:明文空间 { f ∈ R q : ∥ f ∥ ∞ ≤ 2 ρ } ≅ { f ∈ q − 1 R / R : ∥ f ∥ ∞ ≤ 2 ρ / q } ⊆ T R \{f \in R_q:\|f\|_\infty \le 2^\rho\} \cong \{f \in q^{-1}R/R:\|f\|_\infty \le 2^\rho/q\} \subseteq \mathbb T_R {fRq:f2ρ}{fq1R/R:f2ρ/q}TR,密文空间 R q ≅ q − 1 R / R ⊆ T R R_q \cong q^{-1}R/R \subseteq \mathbb T_R Rqq1R/RTR
  • TRLWE 方案:明文空间 T R \mathbb T_R TR,密文空间 T R \mathbb T_R TR

另外,TRGSW 方案:明文空间 R R R,密文空间 T R 2 \mathbb T_R^2 TR2,它加密的是(其他三个方案都是加密的

FHE module structure & External product

[BGGJ20] 提出了全同态模结构,无噪声版本的定义如下:

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第4张图片

可以验证,[CGGI20] 的两个方案 TRGSW 和 TRLWE 携带上 “外积”,它们组成了一个全同态模结构。点击这里,查看具体的构造。

我们现在列出 TFHE(TRLWE)的基本运算,

  1. KeyGen:采样秘钥 s ← B ⊆ R s \gets \mathcal B \subseteq R sBR,诱导了相位 ϕ s : ( a , b ) ↦ b − s ⋅ a \phi_s:(a,b) \mapsto b-s \cdot a ϕs:(a,b)bsa,这里环 R R R 左作用于环面 T R \mathbb T_R TR

  2. Encrypt:消息 μ ∈ T R \mu \in \mathbb T_R μTR,密文 c = ( a , s ⋅ a + μ + e ) ∈ T R 2 c=(a,s \cdot a+\mu+e) \in \mathbb T_R^2 c=(a,sa+μ+e)TR2

  3. DecryptApprox:带噪的消息 ϕ s ( c ) ∈ T R \phi_s(c)\in \mathbb T_R ϕs(c)TR

  4. DecryptRounded:预设离散子集 M ⊆ T R ≅ T N M \subseteq \mathbb T_R \cong \mathbb T^N MTRTN,把 ϕ s ( c ) \phi_s(c) ϕs(c) 园整到最近的点

  5. Public Linear Combinatrion:常数 a i ∈ R a_i \in R aiR,密文 c i = T R L W E S ( μ i ) c_i=TRLWE_S(\mu_i) ci=TRLWES(μi),输出(环的左作用)
    T R L W E S ( ∑ i a i ⋅ μ i ) = ∑ i a i ⋅ c i ∈ T R 2 TRLWE_S(\sum_i a_i \cdot \mu_i)=\sum_i a_i \cdot c_i\in \mathbb T_R^2 TRLWES(iaiμi)=iaiciTR2

  6. Sample Extract:索引 i i i,加密了 μ ∈ T R \mu \in \mathbb T_R μTR 的 TRLWE 密文 T R L W E S ( μ ) = ( a , b ) TRLWE_S(\mu) = (a,b) TRLWES(μ)=(a,b),输出加密了系数 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的同一秘钥下的 TLWE 密文
    T L W E S ( μ i ) = ( ( a i , a i − 1 , ⋯   , a i − N + 1 ) , b i ) TLWE_S(\mu_i) = ((a_i,a_{i-1},\cdots,a_{i-N+1}), b_i) TLWES(μi)=((ai,ai1,,aiN+1),bi)

    (原始论文中如此,但是不是少了负号啊?反循环的系数卷积

  7. External Product:加密了 μ r ∈ R \mu_r \in R μrR 的 TRGSW 密文 c r c_r cr,加密了 μ m ∈ T R \mu_m \in \mathbb T_R μmTR 的 TRLWE 密文 c m c_m cm,输出加密了 μ r ⋅ μ m ∈ T R \mu_r \cdot \mu_m \in \mathbb T_R μrμmTR 的 TRLWE 密文
    c r ⊡ α c m : = c r ⋅ G α − 1 ( c m ) c_r \boxdot_\alpha c_m := c_r \cdot G^{-1}_\alpha(c_m) crαcm:=crGα1(cm)

    其中 α \alpha α 是动态的精度(当前噪声的标准差)。给定一个足够精度 2 − l 2^{-l} 2l 的 TRGSW 密文 A A A,所编码的 μ A ⋅ G l \mu_A \cdot G_l μAGl 前面的 l ′ = − log ⁡ α ≤ l l'=-\log\alpha \le l l=logαl 个小方阵,就足够计算外积了。

    噪声规模是
    V a r ( E r r ( c r ⊡ α c m ) ) ≤ 2 l N ⋅ V a r ( E r r ( c r ) ) + 1 + N 4 ∥ r ∥ 2 2 α 2 + ∥ r ∥ 2 2 ⋅ V a r ( E r r ( c m ) ) Var(Err(c_r \boxdot_\alpha c_m)) \le 2lN \cdot Var(Err(c_r)) + \dfrac{1+N}{4}\|r\|_2^2\alpha^2 + \|r\|_2^2 \cdot Var(Err(c_m)) Var(Err(crαcm))2lNVar(Err(cr))+41+Nr22α2+r22Var(Err(cm))

    选取精度 α \alpha α,设置密文噪声的方差 V a r ( E r r ( c r ) ) = α 2 Var(Err(c_r))=\alpha^2 Var(Err(cr))=α2,使得噪声主项是 ∥ r ∥ 2 2 ⋅ V a r ( E r r ( c m ) ) \|r\|_2^2 \cdot Var(Err(c_m)) r22Var(Err(cm))

  8. Functional Key-Switch:任意的 κ \kappa κ-Lipschitz 线性态射 f : T k → T R f:\mathbb T^k \to \mathbb T_R f:TkTR,给定 k k k 个 TLWE 密文(不需要 n = N n=N n=N
    c i = T L W E S ( μ i ) ∈ T n + 1 c_i=TLWE_{S}(\mu_i) \in \mathbb T^{n+1} ci=TLWES(μi)Tn+1
    给定秘钥切换秘钥(TRLWE 格式,密文的二进制分解 + 秘钥的 R R R 模线性组合)
    K S i j = T R L W E K , α ( S i / 2 j ) KS_{ij}=TRLWE_{K,\alpha}(S_i/2^j) KSij=TRLWEK,α(Si/2j)

    存在某算法(详见 TFHE 的秘钥切换算法),输出
    c = T R L W E K ( f ( μ 1 , ⋯   , μ k ) ) ∈ T R 2 c=TRLWE_K(f(\mu_1,\cdots,\mu_k)) \in \mathbb T_R^2 c=TRLWEK(f(μ1,,μk))TR2

    噪声规模是
    V a r ( E r r ( c ) ) ≤ κ 2 max ⁡ i ( V a r ( E r r ( c i ) ) ) + α 2 ( l N 2 + N 4 ) Var(Err(c)) \le \kappa^2 \max_i(Var(Err(c_i))) + \alpha^2(lN^2+\dfrac{N}{4}) Var(Err(c))κ2imax(Var(Err(ci)))+α2(lN2+4N)

    选取精度 α \alpha α,使得噪声主项是 κ 2 max ⁡ i ( V a r ( E r r ( c i ) ) ) \kappa^2 \max_i(Var(Err(c_i))) κ2maxi(Var(Err(ci)))

    Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第5张图片

  9. Functional Gate Bootstrap:任意的反循环非线性态射 f : ( 2 N ) − 1 Z / Z ⊆ T → T f:(2N)^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z \subseteq \mathbb T \to \mathbb T f:(2N)1Z/ZTT,满足 f ( x + 1 / 2 ) = − f ( x ) f(x+1/2)=-f(x) f(x+1/2)=f(x),给定某个 TLWE 密文(不需要 n = N n=N n=N
    c = T L W E K ( μ ) ∈ ( ( 2 N ) − 1 Z / Z ) n + 1 ⊆ T n + 1 c=TLWE_K(\mu) \in ((2N)^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z)^{n+1} \subseteq \mathbb T^{n+1} c=TLWEK(μ)((2N)1Z/Z)n+1Tn+1

    给定自举秘钥(TRGSW 格式,外积 + 基于 MUX 的盲旋转)
    B K i = T R G S W S , α ( K i ) BK_i=TRGSW_{S,\alpha}(K_i) BKi=TRGSWS,α(Ki)

    存在某算法(详见 TFHE 的盲旋转/门自举算法),输出
    c ′ = T L W E S ( f ( ϕ K ( c ) ) ) ∈ T N + 1 c'=TLWE_S(f(\phi_K(c))) \in \mathbb T^{N+1} c=TLWES(f(ϕK(c)))TN+1

    噪声规模是
    V a r ( E r r ( c ′ ) ) ≤ α 2 n ( 2 l N + N + 5 4 + l ) Var(Err(c')) \le \alpha^2n(2lN+N+\dfrac{5}{4}+l) Var(Err(c))α2n(2lN+N+45+l)

    选取精度 α \alpha α,使得自举后 c ′ c' c 的噪声规模比原始 c c c 的噪声规模小得多

    Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第6张图片

在三种方案的密文之间转换时,需要频繁用到 TRLWE 的上述操作:线性组合(同态解密)、系数提取(获取 TLWE 密文)、外积(构造内积)、线性态射的秘钥切换(在 coeff 和 slot 之间切换)、自举。

TRLWE as Bridge

在 Chimera 中,使用 TRLWE 作为桥梁:

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第7张图片

对于 BFV(红箭头),

  1. 采取 slot packing 编码方式的消息 p μ i ∈ Z p p\mu_i \in \mathbb Z_p pμiZp 的单个 BFV 密文,转换为 coeff packing 编码方式的消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的单个 TRLWE 密文,最后可以提取出 N N N 个消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的 TLWE 密文
  2. 至多 N N N 个消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的 TLWE 密文,组合成 slot packing 编码方式的消息 p μ i ∈ Z p p\mu_i \in \mathbb Z_p pμiZp 的单个 BFV 密文

对于 CKKS(绿箭头),

  1. 采取 coeff packing 编码方式的消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的单个 CKKS 密文(也可以利用 Slot to Coeff 程序获取 slot packing 的消息,但是需要 D F T ( μ ⃗ ) DFT(\vec \mu) DFT(μ ) 是实的),可以立即地转换为 coeff packing 编码方式的消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的单个 TRLWE 密文,最后可以提取出 N N N 个消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的 TLWE 密文
  2. 至多 N / 2 N/2 N/2 个消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的 TLWE 密文,采用 CKKS 自举技巧的变体,组合成 slot packing 编码方式的消息 exp ⁡ ( 2 π i μ i ) ∈ C \exp(2\pi i\mu_i) \in \mathbb C exp(2πiμi)C 的单个 CKKS 密文,最后可以利用 sin ⁡ \sin sin 函数以及 Slot to Coeff 程序得到 coeff packing 编码方式的消息 μ i ∈ T \mu_i \in \mathbb T μiT 的单个 CKKS 密文

对于 BFV-BigNum(蓝箭头),明文模数选取为 P = x − p P=x-p P=xp,此时 R P ≅ Z p N + 1 R_P \cong \mathbb Z_{p^N+1} RPZpN+1,并且
P − 1 = − 1 p N + 1 ∑ i = 0 N − 1 p N − i − 1 x i P^{-1} = \dfrac{-1}{p^N+1} \sum_{i=0}^{N-1} p^{N-i-1}x^i P1=pN+11i=0N1pNi1xi

于是同构映射 R P ≅ P − 1 R / R → Z p N + 1 R_P \cong P^{-1}R/R \to \mathbb Z_{p^N+1} RPP1R/RZpN+1 恰好就是提取前导项 x N − 1 x^{N-1} xN1 的系数。在密文转换时,直接与 TLWE 做转换。

Application

在 TFHE 密文下计算:

  • 稀疏的、深度大的布尔运算
  • 线性运算(秘钥切换)
  • 反循环的非线性运算(盲旋转/自举)
  • 延迟较低的自举

在 BFV 密文下计算:

  • 密集的、深度浅的整数运算(SIMD)
  • 稀疏表示的非线性多项式(拉格朗日插值)
  • 均摊成本低的自举

在 CKKS 密文下计算:

  • 密集的、深度浅的浮点数运算(SIMD)
  • 明文槽的线性变换(同态的矩阵乘)
  • 非线性函数(傅里叶级数/泰勒级数)

BFV

BFV over Torus

原始 BFV 的明文空间是 R P ≅ P − 1 R / R ⊆ T R R_P \cong P^{-1}R/R \subseteq \mathbb T_R RPP1R/RTR,其中 P ∈ Z [ x ] P \in \mathbb Z[x] PZ[x] Q [ x ] \mathbb Q[x] Q[x] 中可逆。同构映射为
u ∈ T R ↦ P ⋅ u ∈ R P u \in \mathbb T_R \mapsto P\cdot u \in R_P uTRPuRP

我们称 R P R_P RP 是环面 T R \mathbb T_R TR P P P-扭曲(torsion)

我们现在为 native 明文空间 M : = P − 1 R / R M:=P^{-1}R/R M:=P1R/R 装备上乘法。定义离散环面 M ⊆ T R M \subseteq \mathbb T_R MTR蒙哥马利内积(internal Mongomery-type product)
μ 1 ⊡ P μ 2 ↦ P ⋅ μ 1 ⋅ μ 2 ( m o d Z ) \mu_1 \boxdot_P \mu_2 \mapsto P \cdot \mu_1 \cdot \mu_2 \pmod{\mathbb Z} μ1Pμ2Pμ1μ2(modZ)

其中的 ⋅ \cdot 算符,是从 Z [ x ] , M \mathbb Z[x],M Z[x],M 提升到 Q [ x ] \mathbb Q[x] Q[x] 上运算的。

环面上的 BFV 方案:

  • KeyGen

    1. 均匀采样 s ← B s \gets \mathcal B sB,它是短的整系数多项式
  • Enc

    1. 明文 μ ∈ M ⊆ T R \mu \in M \subseteq \mathbb T_R μMTR
    2. 均匀采样 a ← T R a \gets \mathbb T_R aTR,零中心高斯采样 e ← T R e \gets \mathbb T_R eTR
    3. 计算 b : = s ⋅ a + e ∈ T R b := s\cdot a+e \in \mathbb T_R b:=sa+eTR,满足 ϕ s ( a , b ) = e ≈ 0 \phi_s(a,b)=e \approx 0 ϕs(a,b)=e0
    4. 密文 c : = ( a , b ) + ( 0 , μ ) c:=(a,b)+(0,\mu) c:=(a,b)+(0,μ),是长度 2 2 2 的列向量
  • Dec

    1. 密文 ( a , b ′ ) ∈ T R × T R (a,b') \in \mathbb T_R \times \mathbb T_R (a,b)TR×TR
    2. 计算 ϕ s ( a , b ′ ) = e + μ ∈ T R \phi_s(a,b') = e+\mu \in \mathbb T_R ϕs(a,b)=e+μTR
    3. 圆整到 μ ∈ M \mu \in M μM
  • Add(同态的 M M M 上的加法):

    1. 密文 c 1 = B F V s ( μ 1 ) , c 2 = B F V s ( μ 2 ) c_1 = BFV_s(\mu_1), c_2 = BFV_s(\mu_2) c1=BFVs(μ1),c2=BFVs(μ2),属于 R R R T R 2 \mathbb T_R^2 TR2
    2. 计算 R R R 模的加法 c 3 = c 1 + c 2 = B F V s ( μ 1 + μ 2 ) c_3 = c_1+c_2 = BFV_s(\mu_1+\mu_2) c3=c1+c2=BFVs(μ1+μ2)
  • Internal product(同态的 M M M 上的内积):

    1. 给定重线性化秘钥 R K = T R G S W s , α ( s ) RK=TRGSW_{s,\alpha}(s) RK=TRGSWs,α(s)(原始 BFV 采取 R K j = T R L W E s ( s 2 / 2 j ) RK_j=TRLWE_s(s^2/2^j) RKj=TRLWEs(s2/2j)

    2. 密文 c i = B F V s ( μ i ) c_i = BFV_s(\mu_i) ci=BFVs(μi) 提升到 ( a i , b i ) ∈ R R (a_i,b_i) \in R_\mathbb R (ai,bi)RR,系数范围 [ − 1 / 2 , 1 / 2 ) [-1/2,1/2) [1/2,1/2),使得在 R R R_\mathbb R RR可以计算乘法

    3. 计算 c i ( s ) c_i(s) ci(s) 的 Montgomery 版本多项式乘积(提升到 R R R_\mathbb R RR 上的乘法,虽然 ⊡ P , α \boxdot_{P,\alpha} P,α 仅仅对于子集 M ⊆ T R M \subseteq \mathbb T_R MTR 有定义), C 2 = P a 1 a 2 C_2=P a_1 a_2 C2=Pa1a2 C 1 = P ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) C_1=P (a_1b_2 + a_2b_1) C1=P(a1b2+a2b1), C 0 = P b 1 b 2 C_0=P b_1 b_2 C0=Pb1b2

    4. 消除密文多项式的二次项,由于
      E n c M ( s 2 ⋅ C 2 ) = E n c R ( s 2 ) ⊡ α E n c M ( C 2 ) = E n c R ( s ) ⊡ α E n c M ( s ⋅ C 2 ) Enc_M(s^2 \cdot C_2) = Enc_R(s^2) \boxdot_\alpha Enc_M(C_2) = Enc_R(s) \boxdot_\alpha Enc_M(s \cdot C_2) EncM(s2C2)=EncR(s2)αEncM(C2)=EncR(s)αEncM(sC2)

      Chimera 采用 R K = E n c R ( s ) RK=Enc_R(s) RK=EncR(s),对应的密文 E n c M ( s ⋅ C 2 ) = ( − C 2 , 0 ) Enc_M(s \cdot C_2)=(-C_2,0) EncM(sC2)=(C2,0)

      原始 BFV 采用了 R K = E n c R ( s 2 ) RK=Enc_R(s^2) RK=EncR(s2),对应的密文 E n c M ( C 2 ) = ( 0 , C 2 ) Enc_M(C_2)=(0,C_2) EncM(C2)=(0,C2),但是元素 s 2 s^2 s2 的范数相对更大,导致外积的噪声更大

    5. 利用与 TRGSW 的外积,构造出 BFV 的密文内积(注意 TRLWE 的密文内积未定义,环面 T R \mathbb T_R TR 上并没有关于 P P P 的蒙哥马利内积)
      c 1 ⊡ P , α c 2 : = ( C 1 , C 0 ) − R K ⊡ α ( C 2 , 0 ) c_1 \boxdot_{P,\alpha} c_2 := (C_1,C_0) - RK \boxdot_\alpha (C_2,0) c1P,αc2:=(C1,C0)RKα(C2,0)

      容易验证, c 1 ⊡ P , α c 2 = B F V s ( μ 1 ⊡ P μ 2 ) c_1 \boxdot_{P,\alpha} c_2 = BFV_s(\mu_1 \boxdot_P \mu_2) c1P,αc2=BFVs(μ1Pμ2)

      噪声规模是
      V a r ( E r r ( c 1 ⊡ P , α c 2 ) ) ≤ 1 + N + N 2 2 ∥ P ∥ 2 2 ⋅ max ⁡ i V a r ( E r r ( c i ) ) + α 2 ( 2 l N + N + N 2 4 ) Var(Err(c_1 \boxdot_{P,\alpha} c_2)) \le \dfrac{1+N+N^2}{2}\|P\|_2^2 \cdot \max_i Var(Err(c_i)) + \alpha^2(2lN+\dfrac{N+N^2}{4}) Var(Err(c1P,αc2))21+N+N2P22imaxVar(Err(ci))+α2(2lN+4N+N2)

      选取合适的 α \alpha α,使得主项是 1 + N + N 2 2 ∥ P ∥ 2 2 ⋅ max ⁡ i V a r ( E r r ( c i ) ) \dfrac{1+N+N^2}{2}\|P\|_2^2 \cdot \max_i Var(Err(c_i)) 21+N+N2P22maxiVar(Err(ci))

  • Modulus switch:BFV 不需要模切换,原始方案的思路就是用 Z q \mathbb Z_q Zq 模拟 q − 1 Z / Z q^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z q1Z/Z,噪声被自然地控制了(小数相乘会变得更小)

现在 BFV 的明文是 μ ∈ M ⊆ T R \mu \in M \subseteq \mathbb T_R μMTR,密文是 c = ( a , b ) ∈ T R 2 c=(a,b) \in \mathbb T_R^2 c=(a,b)TR2,它们与 TRLWE 的明密文空间相兼容

BFV to TFHE

选取明文模数 P = p ∈ Z P=p \in \mathbb Z P=pZ 是素数,满足 2 N ∣ p − 1 2N|p-1 2Np1 使得 Z p \mathbb Z_p Zp 中存在 2 N 2N 2N 次本原单位根。

Coeff packing:明文空间 M = p − 1 R / R M = p^{-1}R/R M=p1R/R,我们以标准基 { 1 , x , ⋯   , x N − 1 } \{1,x,\cdots,x^{N-1}\} {1,x,,xN1} 将它转换为 M ≅ p − 1 Z N / Z N M \cong p^{-1}\mathbb Z^N/\mathbb Z^N Mp1ZN/ZN,因此 M M M 可以视为矩阵 p − 1 I N p^{-1}I_N p1IN 生成的正交格,packing raduius 是 1 / 2 P 1/2P 1/2P

Slot packing:明文空间 M ≅ R p ≅ Z p N M \cong R_p \cong \mathbb Z_p^N MRpZpN,令 ζ 0 , ⋯   , ζ N − 1 ∈ Z p \zeta_0,\cdots,\zeta_{N-1} \in \mathbb Z_p ζ0,,ζN1Zp x n + 1 x^n+1 xn+1 的所有根,同构映射为
N T T : μ ∈ p − 1 R / R ↦ z = [ ( p μ ) ( ζ 0 ) , ⋯   , ( p μ ) ( ζ N − 1 ) ] ∈ Z p N NTT:\mu \in p^{-1}R/R \mapsto z=[(p\mu)(\zeta_0),\cdots,(p\mu)(\zeta_{N-1})] \in \mathbb Z_p^N NTT:μp1R/Rz=[(pμ)(ζ0),,(pμ)(ζN1)]ZpN

p μ → z p\mu \to z pμz 的线性变换为:
V D M = [ 1 ζ 0 ⋯ ζ 0 N − 1 1 ζ 1 ⋯ ζ 1 N − 1 ⋮ ⋱ 1 ζ N − 1 ⋯ ζ N − 1 N − 1 ] ( m o d p ) VDM=\begin{bmatrix} 1 & \zeta_0 & \cdots & \zeta_0^{N-1}\\ 1 & \zeta_1 & \cdots & \zeta_1^{N-1}\\ \vdots && \ddots\\ 1 & \zeta_{N-1} & \cdots & \zeta_{N-1}^{N-1}\\ \end{bmatrix} \pmod{p} VDM= 111ζ0ζ1ζN1ζ0N1ζ1N1ζN1N1 (modp)

给定 BFV 密文 c = ( a , b + μ ) ∈ T R 2 c=(a,b+\mu) \in \mathbb T_R^2 c=(a,b+μ)TR2,为了方便矩阵运算,我们把 a a a 写成反循环的行向量, s s s b b b 写成列向量( Z \mathbb Z Z 是交换环,右模 = 左模),于是把 c c c 写成矩阵形式 C ∈ T N × ( N + 1 ) C \in \mathbb T^{N \times (N+1)} CTN×(N+1)也就是 N N N 个 TLWE 密文),
D e c s ( c ) = [ a N − 1 a N − 2 ⋯ a 1 a 0 b N − 1 + μ N − 1 a N − 2 a N − 3 ⋯ a 0 − a N − 1 b N − 2 + μ N − 2 ⋱ ⋮ a 0 − a N − 1 ⋯ − a 2 − a 1 b 0 + μ 0 ] ⋅ [ − s 0 − s 1 ⋮ − s N − 1 1 ] ≈ [ μ N − 1 μ N − 2 ⋮ μ 0 ] ∈ ( p − 1 Z / Z ) N Dec_s(c) = \left[\begin{array}{ccccc|c} a_{N-1} & a_{N-2} & \cdots & a_1 & a_0 & b_{N-1}+\mu_{N-1}\\ a_{N-2} & a_{N-3} & \cdots & a_0 & -a_{N-1} & b_{N-2}+\mu_{N-2}\\ &&\ddots&&&\vdots\\ a_{0} & -a_{N-1} & \cdots & -a_{2} & -a_{1} & b_0+\mu_{0}\\ \end{array}\right] \cdot \begin{bmatrix} -s_0\\-s_1\\\vdots\\-s_{N-1}\\1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} \mu_{N-1}\\\mu_{N-2}\\\vdots\\\mu_{0} \end{bmatrix} \in (p^{-1} \mathbb Z/\mathbb Z)^N Decs(c)= aN1aN2a0aN2aN3aN1a1a0a2a0aN1a1bN1+μN1bN2+μN2b0+μ0 s0s1sN11 μN1μN2μ0 (p1Z/Z)N

给定矩阵 F ∈ Z N × N F \in \mathbb Z^{N \times N} FZN×N(环面 T \mathbb T T Z \mathbb Z Z 模),可以对多项式的系数 μ i \mu_i μi 做线性变换(通过对 C C C 的每一列 X i a ( x ) ( m o d x N + 1 ) X^ia(x) \pmod{x^N+1} Xia(x)(modxN+1) F F F 变换),
( F ⋅ C ) ⋅ ( − s , 1 ) = F ⋅ [ μ N − 1 μ N − 2 ⋮ μ 0 ] + F ⋅ e (F \cdot C) \cdot (-s,1) = F \cdot \begin{bmatrix} \mu_{N-1}\\\mu_{N-2}\\\vdots\\\mu_{0} \end{bmatrix} +F \cdot e (FC)(s,1)=F μN1μN2μ0 +Fe

为了减少噪声 F ⋅ e F \cdot e Fe 的规模,我们可以把 F F F 约束为系数范围是 [ − p / 2 , p / 2 ) [-p/2,p/2) [p/2,p/2) 的整数矩阵(离散环面 p − 1 Z / Z ⊆ T p^{-1} \mathbb Z/\mathbb Z \subseteq \mathbb T p1Z/ZT 不仅是 Z \mathbb Z Z 模,也是 Z p \mathbb Z_p Zp

对于 slot 内的消息 z = N T T ( p μ ) ∈ Z p N z=NTT(p\mu) \in \mathbb Z_p^N z=NTT(pμ)ZpN,其上的线性变换为
F ⋅ ( V D M ⋅ ( p ⋅ μ ) ) F \cdot (VDM \cdot (p \cdot \mu)) F(VDM(pμ))

由于 μ ∈ ( p − 1 Z / Z ) N \mu \in (p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z)^N μ(p1Z/Z)N,因此 p ⋅ μ ∈ Z p N p \cdot \mu \in \mathbb Z_p^N pμZpN,从而可以在 Z p \mathbb Z_p Zp 上计算 NTT 变换。

但是密文 C ∈ T N × ( N + 1 ) C \in \mathbb T^{N \times (N+1)} CTN×(N+1) 并不是 Z p \mathbb Z_p Zp,我们需要把 V D M ∈ Z p N × N VDM \in \mathbb Z_p^{N \times N} VDMZpN×N 提升到 Z N × N \mathbb Z^{N \times N} ZN×N 上才存在环作用。我们计算:
( F ⋅ V D M ) ⋅ C ⋅ ( − s , 1 ) ≈ p − 1 ( F ⋅ z ) ∈ ( p − 1 Z / Z ) N (F \cdot VDM) \cdot C \cdot (-s,1) \approx p^{-1}(F \cdot z) \in (p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z)^N (FVDM)C(s,1)p1(Fz)(p1Z/Z)N
同理,我们应当把 F ⋅ V D M F \cdot VDM FVDM 表示为系数范围是 [ − p / 2 , p / 2 ) [-p/2,p/2) [p/2,p/2) 的整数矩阵,以减少噪声规模。

使用线性态射是 F ⋅ V D M F \cdot VDM FVDM秘钥切换过程(单个 TRLWE 密文被视为 N N N 个 TLWE 密文),就实现了 BFV 到 TFHE 的密文转换:

  • 输入单个 slot packing 编码的消息 z ∈ Z p N z \in \mathbb Z_p^N zZpN 的 BFV over Torus 密文,以及 Z p \mathbb Z_p Zp 上的线性函数 f f f
  • 输出单个 coeff packing 编码的消息 p − 1 f ( z ) p^{-1}f(z) p1f(z) 的 TRLWE 密文
  • 可以通过 Sample Extract 提取出 N N N 个系数的 TLWE 密文

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第8张图片

由于 F ⋅ V D M ( m o d p ) F \cdot VDM \pmod p FVDM(modp) 是一个 ( N p / 2 ) (Np/2) (Np/2)-Lipschitz 态射,输出的噪声规模为
V a r ( E r r ( c ′ ) ) ≤ ( N p 2 ) 2 ⋅ V a r ( E r r ( c ) ) + α 2 ⋅ ( l N 2 + N 4 ) Var(Err(c')) \le (\dfrac{Np}{2})^2 \cdot Var(Err(c)) + \alpha^2 \cdot (lN^2+\dfrac{N}{4}) Var(Err(c))(2Np)2Var(Err(c))+α2(lN2+4N)

选取合适的精度 α \alpha α,使得 ( N p / 2 ) 2 ⋅ V a r ( E r r ( c ) ) (Np/2)^2 \cdot Var(Err(c)) (Np/2)2Var(Err(c)) 成为主项。

TFHE to BFV

现在我们把 TLWE 密文转换为 BFV 密文。由于 TLWE 加密的消息是 T \mathbb T T,而 BFV 加密的消息是 Z p \mathbb Z_p Zp,因此对于态射 g : T → Z p g:\mathbb T \to \mathbb Z_p g:TZp,任意的 x = p ⋅ y ∈ T x=p\cdot y \in\mathbb T x=pyT 总使得 g ( x ) = p ⋅ g ( y ) = 0 ∈ Z p g(x)=p \cdot g(y)=0 \in \mathbb Z_p g(x)=pg(y)=0Zp,所以必须限制 g g g 的值域是离散的。

我们设置 g : Z p k → Z p N g:\mathbb Z_p^k \to \mathbb Z_p^N g:ZpkZpN 是线性态射,对应的矩阵 G ∈ Z N × k G \in \mathbb Z^{N \times k} GZN×k。在密文转换之前,必须先利用 Gate Bootstrapping

  1. 把 TLWE 密文的明文空间约束为 p − 1 Z / Z p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z p1Z/Z(盲旋转 LUT 的取值设置为 p − 1 p^{-1} p1 整数倍)
  2. 并且把噪声水平降低到 BFV 可容忍的范围(TFHE 能够容忍很高的噪声比率)

给定 k ≤ N k \le N kN 个 TLWE 密文,按照行向量排列为矩阵
C = [ a 0 , 0 a 0 , 1 ⋯ a 0 , n − 1 b 0 + μ 0 a 1 , 0 a 1 , 1 ⋯ a 1 , n − 1 b 1 + μ 1 ⋱ ⋮ a k − 1 , 0 a k − 1 , 1 ⋯ a k − 1 , n − 1 b k − 1 + μ k − 1 ] ∈ T k × ( n + 1 ) C = \left[\begin{array}{cccc|c} a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1} & b_0+\mu_0\\ a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1} & b_1+\mu_1\\ &&\ddots&&\vdots\\ a_{k-1,0} & a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,n-1} & b_{k-1}+\mu_{k-1}\\ \end{array}\right] \in \mathbb T^{k \times (n+1)} C= a0,0a1,0ak1,0a0,1a1,1ak1,1a0,n1a1,n1ak1,n1b0+μ0b1+μ1bk1+μk1 Tk×(n+1)

我们首先将 V D M − 1 ⋅ G VDM^{-1} \cdot G VDM1G 提升为 Z N × k \mathbb Z^{N \times k} ZN×k 内的矩阵(并约束系数范围),然后计算矩阵乘(分别乘以密文 C C C 的每一列)
( V D M − 1 ⋅ G ⋅ C ) ⋅ ( − s , 1 ) ≈ V D M − 1 ⋅ ( G ⋅ μ ) = p − 1 ⋅ I N T T ( g ( p μ ) ) ∈ ( p − 1 Z / Z ) N (VDM^{-1} \cdot G \cdot C) \cdot (-s,1) \approx VDM^{-1} \cdot (G \cdot \mu) = p^{-1} \cdot INTT(g(p\mu)) \in (p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z)^N (VDM1GC)(s,1)VDM1(Gμ)=p1INTT(g(pμ))(p1Z/Z)N

使用线性态射是 V D M − 1 ⋅ G VDM^{-1} \cdot G VDM1G秘钥切换过程,就实现了 TFHE 到 BFV 的密文转换:

  • 输入 k k k 个消息 μ i ∈ p − 1 Z / Z \mu_i \in p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z μip1Z/Z 的 TLWE 密文,以及 Z p \mathbb Z_p Zp 上的线性函数 g g g
  • 输出单个 slot packing 编码的消息 g ( p μ ) g(p\mu) g(pμ) 的 BFV over Torus 密文

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第9张图片

输出的噪声规模为
V a r ( E r r ( c ′ ) ) ≤ ( N p 2 ) 2 ⋅ max ⁡ i V a r ( E r r ( c i ) ) + α 2 ⋅ ( l N 2 + N 4 ) Var(Err(c')) \le (\dfrac{Np}{2})^2 \cdot \max_iVar(Err(c_i)) + \alpha^2 \cdot (lN^2+\dfrac{N}{4}) Var(Err(c))(2Np)2imaxVar(Err(ci))+α2(lN2+4N)

选取合适的精度 α \alpha α,使得 ( N p 2 ) 2 ⋅ max ⁡ i V a r ( E r r ( c i ) ) (\dfrac{Np}{2})^2 \cdot \max_i Var(Err(c_i)) (2Np)2maxiVar(Err(ci)) 成为主项。额外要求输入密文的 max ⁡ i V a r ( E r r ( c i ) ) \max_i Var(Err(c_i)) maxiVar(Err(ci)) 本身就很小(自举时设置足够大的精度),从而使得 BFV 可以容忍此噪声。

BFV-big-number

博主我还没看过这个方案,略。。。

CKKS

CKKS over Torus

原始 CKKS 的明文空间是:
{ f ∈ R q : ∥ f ∥ ∞ ≤ 2 ρ } ≅ { f ∈ q − 1 R / R : ∥ f ∥ ∞ ≤ 2 ρ / q } ⊆ T R \{f \in R_q:\|f\|_\infty \le 2^\rho\} \cong \{f \in q^{-1}R/R:\|f\|_\infty \le 2^\rho/q\} \subseteq \mathbb T_R {fRq:f2ρ}{fq1R/R:f2ρ/q}TR

按照 IEEE754 标准,浮点数表示为 ( σ , τ , m ) (\sigma,\tau,m) (σ,τ,m),其中 σ ∈ { 0 , 1 } \sigma \in \{0,1\} σ{0,1}符号 τ ∈ Z \tau \in \mathbb Z τZ指数 0 ≤ m < 1 0 \le m <1 0m<1尾数,尾数的精度 ρ ∈ N \rho \in \mathbb N ρN(也就是说 m ∈ 2 − ρ Z m \in 2^{-\rho}\mathbb Z m2ρZ),对应的浮点数是
( − 1 ) σ × ( 1. m ) × 2 τ (-1)^\sigma \times (1.m) \times 2^\tau (1)σ×(1.m)×2τ

现在我们把明文(有限精度的复数)存放在 slots 上:

  1. 层数 L ∈ N L \in \mathbb N LN:代表同态计算能力,native 明文(环面元素)的规模 ∥ μ ∥ ∞ ≤ 2 − L \|\mu\|_\infty \le 2^{-L} μ2L
  2. 明文指数 τ ∈ Z \tau \in \mathbb Z τZ:槽(浮点数)的指数
  3. 明文精度 ρ ∈ N \rho \in \mathbb N ρN:槽(浮点数)的尾数精度
  4. 密文精度 α = 2 − ( L + ρ ) \alpha = 2^{-(L+\rho)} α=2(L+ρ):大约是噪声的标准差

设置 CKKS 的 native 明文空间
M = { μ ∈ T R : ∥ μ ∥ ∞ ≤ 2 − L } M=\{\mu \in \mathbb T_R:\|\mu\|_\infty \le 2^{-L}\} M={μTR:μ2L}

它的 SIMD 槽里的复数形如 z = m ⋅ 2 τ z=m \cdot 2^\tau z=m2τ,其中 − 1 < m < 1 -1 1<m<1 是有限精度的尾数,满足 m ∈ 2 − ρ ( Z + i Z ) m \in 2^{-\rho}(\mathbb Z+i\mathbb Z) m2ρ(Z+iZ)包含了符号位

ζ ∈ C \zeta \in \mathbb C ζC x n + 1 x^n+1 xn+1 的复数根,将 μ ∈ T R \mu \in \mathbb T_R μTR 提升到 R [ x ] \mathbb R[x] R[x] 上,计算 DFT 得到槽的内容
( 2 L ⋅ μ ) ( ζ i ) ≈ m i ∈ 2 − ρ ( Z + i Z ) (2^L \cdot\mu)(\zeta_i) \approx m_i \in 2^{-\rho}(\mathbb Z+i\mathbb Z) (2Lμ)(ζi)mi2ρ(Z+iZ)

槽内的复数,存储格式如图:

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第10张图片

环面上的 CKKS 方案:

  • KeyGen

    1. 均匀采样 s ← B s \gets \mathcal B sB,它是短的整系数多项式
  • Enc

    1. 预设的精度 ρ \rho ρ 和层数 L L L,模数为 q = 2 L + ρ q=2^{L+\rho} q=2L+ρ,噪声规模 α = 1 / q \alpha=1/q α=1/q
    2. 给定明文 z = ( z 1 , ⋯   , z N / 2 ) ∈ C N / 2 z=(z_1,\cdots,z_{N/2}) \in \mathbb C^{N/2} z=(z1,,zN/2)CN/2,它的存储格式任意
    3. 通过插值法找出整系数多项式 d ( x ) ∈ R d(x) \in R d(x)R,系数取值范围 [ − 2 ρ , 2 ρ ] [-2^\rho,2^\rho] [2ρ,2ρ],以及对应的明文指数 τ ∈ Z \tau \in \mathbb Z τZ,满足 ∥ D F T ( d ) ⋅ 2 τ − z ∥ ∞ ≤ 2 τ − ρ \|DFT(d) \cdot 2^\tau - z\|_\infty \le 2^{\tau-\rho} DFT(d)2τz2τρ
    4. 设置 native 明文为 μ = d / q ∈ q − 1 R / R \mu=d/q \in q^{-1} R/R μ=d/qq1R/R,满足 ∥ μ ∥ ∞ ≤ 2 − L \|\mu\|_\infty \le 2^{-L} μ2L(当 L = 1 L=1 L=1 时它恰好是 TRLWE 密文)
    5. 均匀采样 a ← T R a \gets \mathbb T_R aTR,零中心高斯采样 e ← T R e \gets \mathbb T_R eTR
    6. 计算 b : = s ⋅ a + e ∈ T R b := s\cdot a+e \in \mathbb T_R b:=sa+eTR,满足 ϕ s ( a , b ) = e ≈ 0 \phi_s(a,b)=e \approx 0 ϕs(a,b)=e0
    7. 携带 tag 的 CKKS 密文 $c:=((a,b+\mu),\tau,L) $
  • Dec

    1. 密文 ( ( a , b ′ ) , τ , L ) ∈ T R 2 × Z × N ((a,b'),\tau,L) \in \mathbb T_R^2 \times \mathbb Z \times \mathbb N ((a,b),τ,L)TR2×Z×N
    2. 计算 ϕ s ( a , b ′ ) = e + μ ∈ T R \phi_s(a,b') = e+\mu \in \mathbb T_R ϕs(a,b)=e+μTR
    3. 设置 q = 2 L + ρ q=2^{L+\rho} q=2L+ρ,圆整到 μ ∈ q − 1 R / R \mu \in q^{-1}R/R μq1R/R
    4. 明文 z = D F T ( q ⋅ μ ) ⋅ 2 τ ∈ C N / 2 z = DFT(q \cdot \mu) \cdot 2^\tau \in \mathbb C^{N/2} z=DFT(qμ)2τCN/2
  • Add(同态的 M M M 上的加法):

    1. 输入密文 ( c 1 , τ 1 , L 1 ) (c_1,\tau_1,L_1) (c1,τ1,L1) ( c 2 , τ 2 , L 2 ) (c_2,\tau_2,L_2) (c2,τ2,L2)
    2. 统一指数 τ = max ⁡ ( τ 1 , τ 2 ) + 1 \tau = \max(\tau_1,\tau_2)+1 τ=max(τ1,τ2)+1
    3. 统一层数 L = min ⁡ ( L 1 + τ 1 , L 2 + τ 2 ) − τ L=\min(L_1+\tau_1,L_2+\tau_2)-\tau L=min(L1+τ1,L2+τ2)τ
    4. 加和 c = 2 τ 1 + L 1 − ( τ + L ) c 1 + 2 τ 2 + L 2 − ( τ + L ) c 2 ( m o d Z ) c=2^{\tau_1+L_1-(\tau+L)}c_1 + 2^{\tau_2+L_2-(\tau+L)}c_2 \pmod{\mathbb Z} c=2τ1+L1(τ+L)c1+2τ2+L2(τ+L)c2(modZ)
  • Decrease level(模切换/重缩放过程):

    1. 输入密文 ( c , τ , L ) (c,\tau,L) (c,τ,L) 和层数 1 ≤ L ′ < L 1 \le L'1L<L
    2. 输出 ( 2 L − L ′ c , τ , L ′ ) (2^{L-L'}c, \tau,L') (2LLc,τ,L)
  • Binary Shift(二的幂次):

    1. 输入密文 ( c , τ , L ) (c,\tau,L) (c,τ,L) 和移位距离 t ∈ N t \in \mathbb N tN
    2. 输出 ( c , τ + t , L ) (c, \tau+t,L) (c,τ+t,L)
  • Mult by constant Z \mathbb Z Z T R \mathbb T_R TR):

    1. 输入密文 ( c , τ , L ) (c,\tau,L) (c,τ,L) 和常数 a ∈ Z a \in \mathbb Z aZ
    2. 输出 ( a ⋅ c , τ + ρ , L − ρ ) (a \cdot c, \tau+\rho,L-\rho) (ac,τ+ρ,Lρ)
  • Slot-wise Mult by constant R R R T R \mathbb T_R TR):

    1. 输入密文 ( c , τ , L ) (c,\tau,L) (c,τ,L) 和有限精度复数 u = ( u 1 , ⋯   , u N / 2 ) ∈ C N / 2 u=(u_1,\cdots,u_{N/2}) \in \mathbb C^{N/2} u=(u1,,uN/2)CN/2
    2. 找出多项式 d ( x ) ∈ R d(x) \in R d(x)R,系数取值范围 [ − 2 ρ , 2 ρ ] [-2^\rho,2^\rho] [2ρ,2ρ],以及对应的指数 t ∈ Z t \in \mathbb Z tZ,满足 ∥ D F T ( d ) ⋅ 2 t − u ∥ ∞ ≤ 2 t − ρ \|DFT(d) \cdot 2^t - u\|_\infty \le 2^{t-\rho} DFT(d)2tu2tρ
    3. 输出 ( d ( x ) ⋅ c , τ + ρ + t , L − ρ ) (d(x) \cdot c, \tau+\rho+t, L-\rho) (d(x)c,τ+ρ+t,Lρ)
  • External Product

    1. 将上述的 d ( x ) ∈ R d(x) \in R d(x)R 用 TRGSW 预加密为 T R G S W s , α ( d ) TRGSW_{s,\alpha}(d) TRGSWs,α(d)
    2. 计算 T R G S W s , α ( d ) ⊡ α c TRGSW_{s,\alpha}(d) \boxdot_\alpha c TRGSWs,α(d)αc
  • Internal multiplication

    1. 输入密文 ( c 1 , τ 1 , L 1 ) (c_1,\tau_1,L_1) (c1,τ1,L1) ( c 2 , τ 2 , L 2 ) (c_2,\tau_2,L_2) (c2,τ2,L2)
    2. 统一层数 L ′ = min ⁡ ( L 1 , L 2 ) L'=\min(L_1,L_2) L=min(L1,L2),执行 c i ′ = R S L i → L ′ ( c i ) c_i'=RS_{L_i \to L'}(c_i) ci=RSLiL(ci)
    3. 设置模数 q = 2 L ′ + ρ q=2^{L'+\rho} q=2L+ρ,密文精度 α = 1 / q \alpha=1/q α=1/q
    4. c i ′ c_i' ci 园整到 α R / R \alpha R/R αR/R(密文的浮点表示的尾数截断到 L ′ + ρ L'+\rho L+ρ 比特)
    5. 计算 BFV 内积 c = c 1 ′ ⊡ q , α c 2 ′ c=c_1' \boxdot_{q,\alpha} c_2' c=c1q,αc2
    6. 层数 L = L ′ − ρ L=L'-\rho L=Lρ,指数 τ = τ 1 ⋅ τ 2 \tau = \tau_1 \cdot \tau_2 τ=τ1τ2
    7. 输出 ( c , τ , L ) (c,\tau,L) (c,τ,L),如果 ρ ≥ log ⁡ N \rho \ge \log N ρlogN 那么 V a r ( E r r ( c ) ) ≤ 4 − ( L + ρ ) Var(Err(c)) \le 4^{-(L+\rho)} Var(Err(c))4(L+ρ)(噪声在 2 − ( L + ρ ) R / R 2^{-(L+\rho)}R/R 2(L+ρ)R/R 中完全隐藏)

现在 CKKS 的明文是 μ ∈ 2 − ( L + ρ ) R / R ⊆ T R \mu \in 2^{-(L+\rho)}R/R \subseteq \mathbb T_R μ2(L+ρ)R/RTR,密文是 c = ( a , b ) ∈ T R 2 c=(a,b) \in \mathbb T_R^2 c=(a,b)TR2,它们与 TRLWE 的明密文空间相兼容

CKKS to TFHE

由于 L = 1 L=1 L=1 时,所加密的 native 明文为 μ = d / 2 ρ + 1 \mu=d/2^{\rho+1} μ=d/2ρ+1,设置 q = 2 ρ + 1 q=2^{\rho+1} q=2ρ+1,它诱导了双射
d i = q ⋅ μ i ∈ [ − 2 ρ , 2 ρ ) → μ i ∈ [ − 0.5 , 0.5 ) ∩ q − 1 Z / Z d_i=q \cdot\mu_i \in [-2^\rho,2^\rho) \to \mu_i \in [-0.5,0.5) \cap q^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z di=qμi[2ρ,2ρ)μi[0.5,0.5)q1Z/Z

因此,这个 coeff packing 的 CKKS 密文恰好就是 TFHE 密文

转换算法为:

  1. 先执行 Slot to Coeff 过程,得到两个 coeff packing 的密文 ( c 1 , c 2 ) ← M a t M u l t ( c , I D F T ) (c_1,c_2) \gets MatMult(c,IDFT) (c1,c2)MatMult(c,IDFT)
  2. 然后做重缩放, c i ′ = R S L ′ → 1 ( c i ) c_i' = RS_{L' \to 1}(c_i) ci=RSL1(ci) 成为 TRLWE 密文
  3. 最后使用 Sample Extract,提取出各个系数的 TLWE 密文(还需要记录它们的指数 τ \tau τ

TFHE to CKKS

从 TFHE 到 CKKS 的转换过程,

  1. 输入 N / 2 N/2 N/2 个消息 v k ∈ T v_k \in \mathbb T vkT 的 TLWE 密文,
  2. 输出单个 slot packing 编码的消息 exp ⁡ ( 2 π i ⋅ v k ) \exp(2\pi i \cdot v_k) exp(2πivk) 的 TRLWE 密文

有些类似于 [CHKKS18] 的 CKKS Boostrpping Trick,[BGGJ20] 使用傅里叶级数来近似指数函数。根据 Taylor–Lagrange 不等式,
∣ exp ⁡ ( i x ) − ∑ k = 0 t − 1 ( i x ) k k ! ∣ ≤ ∣ x ∣ t t ! \left| \exp(i x) - \sum_{k=0}^{t-1} \dfrac{(i x)^k}{k!} \right| \le \dfrac{|x|^t}{t!} exp(ix)k=0t1k!(ix)k t!xt

我们希望以精度 2 − ρ 2^{-\rho} 2ρ 近似指数函数,设置泰勒级数的项数为 t = ρ t=\sqrt \rho t=ρ 。如果我们约束 x ≤ n / 2 p x \le n/2^p xn/2p,选择足够大的
p = ρ + log ⁡ ( 2 π n / ρ ) p = \sqrt\rho + \log(2\pi n/\sqrt \rho) p=ρ +log(2πn/ρ )

就可以满足 2 − ρ 2^{-\rho} 2ρ 的精度要求。

为了计算 exp ⁡ ( 2 π i ⋅ v ) \exp(2\pi i \cdot v) exp(2πiv)

  1. 首先对相位 ϕ s ( c ) = v \phi_s(c)= v ϕs(c)=v 做恰当的缩放,得到 x = 2 π v / 2 p ≤ n / 2 p x=2\pi v/2^p \le n/2^p x=2πv/2pn/2p
  2. 然后使用 Paterson–Stockmayer 多项式求值算法,计算前 t t t 项泰勒级数(度数 t = ρ t=\sqrt \rho t=ρ 的多项式),得到 E = exp ⁡ ( 2 π i ⋅ v / 2 p ) E=\exp(2\pi i \cdot v/2^p) E=exp(2πiv/2p)
  3. 最后使用快速幂算法,计算出 exp ⁡ ( 2 π i ⋅ v ) = E 2 p \exp(2\pi i \cdot v) = E^{2^p} exp(2πiv)=E2p

Chimera:混合的 RLWE-FHE 方案_第11张图片

现在,我们有两种计算非线性函数的方法:

  1. 使用常规同态乘法,以 SIMD 的方式计算复数多项式
  2. 在自举过程中,利用三角函数(傅里叶级数是个较好的选择,收敛速度快)去逼近

你可能感兴趣的:(#,全同态加密,数学,密码学,线性代数,算法,计算机,机器学习)