射影几何 -- 平面射影几何 2

二维射影变换

射影变换是射影平面上的可逆齐次线性变换，这个变换可由 3 × 3 的矩阵来描述：

记为  x ′ = H x

 

射影变换又称为单应，矩阵 H 称为射影变换矩阵或称为单应矩阵

同一个射影变换矩阵 H 可以相差一个非零常数因子

射影变换仅有 8 个自由度，即射影变换矩阵可由它的元素所构成的 8 个比值所确定

任何射影变换都将点变换到点，并且保持点的共线性质，因而将直线变为直线

 

 

中心投影变换的合成是射影变换。如图 1.3.2 所示，图中第一个中心投影变换是 H，第 二个中心投影变换是 G ，由这两个投影得到一个从第一个像平面到第二个相平面的变换是 F。由于 H ， G 都是射影变换，它们的逆变换是像点沿投影线反投到物体平面上的点，对应的变换矩阵分别 是 H 与 G 的逆矩阵，因此逆变换也是射影变换。变换 F 是 H 的逆变换与变换 G 的合成，它可以用

3 × 3 的可逆矩阵 来描述，所以也是一个射影变换。但它不再是中心投影变换而是一般的射影变换。

 

F = 

 

射影变换的一个点对应：{ x , x ′}，记为 x ↔ x ′

 

4 个点对应唯一确定二维射影变换的充要条件是 4 个点对应中任意三点不共线

 

 

 

直线与二次曲线的射影变换

 

直线的变换规则

∀ x ∈ l ， x ′ = H x ∈ l ′

射影变换 H 的一个线对应：{ l , l ′}，记作 l ↔ l ′

4 个线对应唯一确定一个射影变换

 

 

二次曲线的变换规则

于 ∀ x ∈ C ， x ′ = H x ∈ C ′

射影变换 H 对二次曲线的变换规则，由 H 的对偶合同所确定：

射影变换 H 关于对偶二次曲线 C* 的变换规则，由 H 合同所确定：

 

 

二次曲线的射影分类

二次曲线的射影分类是指二次曲线在射影变换下的等价类。

对任意对称矩阵 C ，必存在可逆矩阵 H 使得 ，

 

 

变换群与不变量

平面上的所有射影变换构成一个变换群，通常称这个群为射影变换群。

几何学的主要内容是研 究在各种变换群作用下的几何不变量（包括不变几何性质），在射影变换群中包含两类重要的子群：

欧氏变换群与仿射变换群。

 

等距变换群

等距变换是指保持距离不变的变换：

其中， σ = ± 1 。使用非齐次坐标，上式可以写成下面的形式：

 

等距变换是先作正交变换，然后再作平移变换所得到的变换

等距变换群的不变量主要有：两点的距离、两线的夹角、图形的面积等

 

在等距变换中，正交变换 U 根据它的行列式是否等于 1 而分为旋转变换与反射变换。当 det( U ) = 1时，是旋转变换； det( U ) = − 1 时，是反射变换。它们的几何意义是旋转变换不但保持两点的距离不变，而且还保 持方向 ( 保向 ) 不变，而反射变换是一个逆向变换

在等距变换 中，如果矩阵 U 是一个旋转矩阵，则这个等距变换称为欧氏变换。欧氏变换群是等距变换群的子群

平面欧氏变换有 3 个自由度（因为在平面上，旋转有 1 个自由度，平移有 2 个自由度）。因此，两个点对应可确定欧氏变换

 

欧氏变换保持圆环点不变，因此也保持无穷远直线不变。

 

反射等距变换将两个圆环点互换，即反射等距变换只能保持两个圆环点的整体不变。当然，它 也是保持无穷远直线不变的。

 

 

相似变换群

相似变换是等距变换与均匀伸缩变换的合成变换

相似变换群的不变量有：两直线的夹角，长度的比值，面积的比值。

均匀伸缩变换是指下述变换：

，其中 s 是均匀伸缩因子。

旋转相似是欧氏变换与均匀伸缩变换的合成

对称相似是反射等距变换与均匀伸缩变换的合成。

旋转相似：

旋转相似变换有 4 个自由度，比欧氏变换多一个均匀伸缩因子

 

射影变换保持圆环点不动的充要条件是它为相似变换

射影变换保持对偶二次曲线 不动的充要条件是它为相似变换

 

 

 

仿射变换

 

其中 A 是一个 2 阶可逆矩阵。仿射变换有 6 个自由度， 3 个不共线的点对应唯一确定仿射变换

相似变换群是仿射变换群的子群。

仿射变换的分解

对矩阵 A 作奇异值分解。 ，其 中 U ， V 是正交矩阵， D 是对角元为正数的对角矩阵

所以，仿射变换是一个等距变换 、一个非均匀伸缩变换 D 以及另一个等距变换 U 的合成，因此它与相似变换的差别在于非均匀伸缩。

仿射变换 是否保向，根据矩阵 A 的行列式 det( A ) 是否大于零来确定。

将A写成：

总是一个保向的变换 ( 不论 V 是否为旋转矩阵 )

 

仿射变换的另一种分解。对 A 作 QR 分解 得到 A ＝ UK ，其中 U 是一个正交阵， K 是一个对角元素均大于零的上三角阵

再对 K 分解：

于是，仿射变换可以表示为

变换 通常称为推移变换

因此，仿射变换 ( 除一个平移变换外 )是推移变换、非均匀伸缩变换与正交变换的合成

仿射不变量：平行性不变，保持面积的比值不变，保持平行线段长度的比值不变

 

射影变换 H 保持无穷远直线不动的充要条件是 H 为仿射变换。

 

二次曲线的仿射分类仍然是：椭圆、抛物线与双曲线三类

 

 

 

射影变换群

射影变换

k = 0 当仅当这个射影变换将无穷远直线变换为通过坐标原点的直线，因此在一般情况下， k ≠ 0 。当 k ≠ 0 时， H 可分解为下述形式：

 

其中 K 是行列式等于 1 且对角元素均大于零的上三角矩阵， R 是正交矩阵。

 

于是：：

是改变无穷远直线的射影变换

是保持面积比不变的仿射变换

是相似变换

 

一般的射影变换将无穷远直线 变到一条有限直线 ，在源平面上的两个有序图形，如果被变换到直线 的两侧，则必存在一个图形与原来的图形反序，而另一个图形与原来的同序

 

射影不变量

基本射影不变量是四共线点的交比

4 点交比在一维射影变换下是不变的 ，换句话说交比的定义不依赖于直线 l 的坐标 系的选择。

 

所谓一维射影变换，在代数上与二维射影变换类似，是指线 l 上的可逆齐次线性变换，这个变换由 2 × 2 的矩阵 H 来描述：

在平面上，任何二维射影变换 H 都可以诱导出直线的一维射影变换，由此，立即得到平面射影变换保持交比不变的结论

 

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等距变换是先作正交变换，然后再作平移变换所得到的变换

等距变换群的不变量主要有：两点的距离、两线的夹角、图形的面积等

在等距变换中，正交变换 U 根据它的行列式是否等于 1 而分为旋转变换与反射变换。当 det( U ) = 1时，是旋转变换； det( U ) = −1 时，是反射变换。如果矩阵 U 是一个旋转矩阵，则这个等距变换称为欧氏变换

平面欧氏变换有 3 个自由度（因为在平面上，旋转有 1 个自由度，平移有 2 个自由度）。因此，两个点对应可确定欧氏变换

欧氏变换保持圆环点不变，因此也保持无穷远直线不变。

反射等距变换将两个圆环点互换，即反射等距变换只能保持两个圆环点的整体不变。当然，它 也是保持无穷远直线不变的。

 

 

相似变换是等距变换与均匀伸缩变换的合成变换

相似变换群的不变量有：两直线的夹角，长度的比值，面积的比值。

旋转相似变换有 4 个自由度，比欧氏变换多一个均匀伸缩因子

射影变换保持圆环点不动的充要条件是它为相似变换

射影变换保持对偶二次曲线 不动的充要条件是它为相似变换

 

 

仿射变换是一个等距变换 、一个非均匀伸缩变换 D 以及另一个等距变换 U 的合成，因此它与相似变换的差别在于非均匀伸缩。

仿射变换 是否保向，根据矩阵 A 的行列式 det( A ) 是否大于零来确定。

仿射不变量：平行性不变，保持面积的比值不变，保持平行线段长度的比值不变

射影变换 H 保持无穷远直线不动的充要条件是 H 为仿射变换。