信息学奥赛一本通 1304：数的划分 | 1440 | 1825：数的划分 | OpenJudge NOI 2.6 8787 | 洛谷 P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分

【题目链接】

ybt 1304：数的划分
ybt 1440：【例题1】数的划分
ybt 1825：【01NOIP提高组】数的划分
OpenJudge NOI 2.6 8787:数的划分
洛谷 P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分

【题目考点】

1. 动态规划

2. 深搜剪枝

【解题思路】

解法1： 动态规划

本题可以类比信息学奥赛一本通 1222 放苹果，上题是允许有空的盘子，本题数字拆分问题可以等价地描述为：将n个相同的苹果分在k个相同的盘子中，每个盘子至少有1个苹果的方案数。下面在放苹果的问题背景下描述思路。

1. 状态定义

集合：将n个相同的苹果放在k个相同的盘子中，每个盘子至少有1个苹果的方案
限制：苹果数，盘子数
属性： 无
条件：无
统计量：方案数
状态定义：dp[i][j]：将i个相同的苹果分放在j个相同的盘子中的方案数。
初始状态：将i个相同的苹果放在1个相同的盘子中，有1种方案，即dp[i][1] = 1。
如果苹果数小于盘子数，那么一定有某个盘子中分不到苹果，这不符合每个盘子至少有1个苹果，因此只有0种方案。即当i < j时，dp[i][j] = 0。

2. 状态转移方程

考虑分放苹果后是否存在某盘子中只有1个苹果，来分割集合。

• 子集1：存在某盘子中只有1个苹果，那么该情况下的方案数等同于：将i-1个苹果放入其余j-1个盘子的方案数，为：dp[i-1][j-1]
• 子集2：不存在某盘子中只有1个苹果，也就是每个盘子的苹果数量大于等于2。这相当于先在每个盘子各放一个苹果，用掉了j个苹果。然后要做的事情相当于：将剩下的i-j个苹果放入j个盘子，每个盘子中放至少1个苹果。该情况的方案数为：dp[i-j][j]
• 以上两种情况得到的方案数加和，即为将i个相同的苹果分放在j个相同的盘子中的方案数。即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]

解法2： 深搜剪枝

深搜虽然复杂度较高，但该问题数据量较小，还是可以解决。
在深搜时，下一次选择的数字必须大于等于前一次选择的数字，这样取到的数字序列是升序的排列。升序的排列的数量与组合的数量是相同的，因此可以用这种方法求组合数。
如果当前要选择的数字为i，下一次选择的数字必须大于等于i，当前还要再选择p个数字，这p个数字都是大于等于i的。那么从现在算起，选出的数字总和最少为i*p，而要凑的数字为d，所以i必须满足i*p <= d。该条件会起到剪枝作用。

【题解代码】

解法1：动态规划

#include
using namespace std;
int n, k, dp[205][10];//dp[i][j]:将数字i拆分为j个数字相加的方案数 
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
    	dp[i][1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= k && j <= i; ++j)
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j];
    cout << dp[n][k];
    return 0;
}

解法2： 深搜剪枝

#include
using namespace std;
#define N 205
int n, k, ct;//ct:方案数
//将数字d拆分成p个数字，最小数字为st 
void dfs(int d, int p, int st)
{
    if(p == 0)//拆分完毕 
    {
        if(d == 0)
            ct++;
        return;
    }
    for(int i = st; i*p <= d; ++i)//以后p个数字每个最少为i，加和必须小于等于d 
        dfs(d-i, p-1, i);
}
int main()
{
    cin >> n >> k;
    dfs(n, k, 1); 
    cout << ct;
    return 0;
}