Unity学习日志_3D数学基础

Unity学习日志_3D数学基础

1. Input类：

InputManager为开发者提供了官方的移动所需的变量。

1. 需要用的静态方法：

1. GetAxis(string axisName);返回相应名称的虚拟轴值
2. GetAxisRaw(string axisName);未经过平滑处理的GetAxis。
3. 不要将Input.GetButton和GetKey系列方法用于物体移动。
   1. 这两个系列方法的返回值都为bool型，适合用来响应点击事件。
   2. 使用这两个系列的方法会将物体移动代码的操控写死。

2. Mathf类：

提供大量现成的数学运算的方法和常量。其函数均为静态函数。

舍入方法：Round（四舍五入），Ceil（向小取整），Floor（向大取整）等，三角函数：Cos，Sin，Tan等，限定范围：Clamp等，插值运算，指数运算，对数运算，等等一系列方法。

1. 三角函数：

1. 角度的度量：

1. 角度degree
2. 弧度radian

2. 角度与弧度转换：

弧度–》角度：数学公式：角度 = 弧度*180/PI；

角度–》弧度：数学公式：弧度 = 角度*PI/180；（求的结果是什么，什么就在分式的分子）

UnityAPI：

弧–》角：弧度*Mathf.Rad2Deg;

角–》弧：角度*Mathf.Deg2Rad;

3. 三角函数：

在unity中已知一边一角求另一边使用三角函数：

sinX = a/c（对边比斜边）

cosX = b/c（临边比斜边）

TanX = a/b（对边比临边）

在unity中已知两个边求角度使用反三角函数：

arcsin（a/c）= x；

arccos（b/c）= x；

arctan（a/b）= x；

UnityAPI提供的函数角度均需要换算为弧度。

UnityAPI提供的三角函数：

Mathf.San(弧度)

Mathf.Cos()

Mathf.Tan()

Mathf.Asin(a/c)

Mathf.Acos(b/c)

Mathf.Atan(a/b)

3. Vector3结构：

1. 向量：

1. 有大小（模长）有方向的物理量。

1. 求向量模长：

1. UnityAPI提供的变量：
   1. Vector3变量.magnitude;
2. 数学公式：
   1. Mathf.sqrt(Mathf.Pow(x,2)+Mathf.Pow(y,2)+Mathf.Pow(z,2));
   2. Vector3.Distance(Vector3.Zero,vector);

2. 求向量方向：

1. 求向量的方向也叫：“标准化向量”，“归一化向量”，即获得该向量的“单位向量”。
2. 单位向量：模长为1的向量。所以向量的方向仍然是一个向量。
3. 求向量方向的方法：
   1. 数学公式：
      1. Vector3 vectorDirection = vector/vector.magnitude;
   2. unityAPI:
      1. Vector3 vectorDirection = vector.normalized;
      2. Vector.Normalize();将自身变成自己的向量方向。

3. 向量相减：

1. 两个向量详相减，结果仍然是一个向量。
2. 各分量相减。
3. 向量相减其大小为两向量之间的距离。Distance()方法的实现原理。
4. 向量相减其方向为减数指向被减数（方向在游戏开发中非常重要）。
5. 实际位置要移动到对应坐标系的原点（取决于相减的两个向量）。
6. 如果只想要向量相减之后的方向，则需要把差向量标准化，防止受到模长的影响。
7. 几何意义：对于a -= b;a向量末端的物体会向着b向量的反方向运动。物体本身方向是箭头的方向。

4. 向量相加：

1. 两个向量相加，结果仍为一个向量，这也是Translate()方法的实现原理。
2. 各分量相加。
3. transform.Translate(vector);挂载本脚本的物体会向着vector向量的正方向移动。
4. 几何意义：对于a += b;a向量末端的物体会向着b向量的正方向移动。（Translate内部代码）当然方向是箭头的方向。

5. 向量与标量的乘除（数乘/数除）：

1. 几何意义：向量模的缩放，方向不变。
2. 各分量同时乘/除一个数值。

6. 点乘：

1. 又称“点积”或者“内积”。

2. 公式：各个分量乘积和。

   1. [x1,y1,z1]·[x2,y2,z2] = x1x2+y1y2+z1*z2;

3. 点积的结果是一个标量。

4. 几何意义：a·b = |a|*|b|*cos

5. 如果两个向量均为单位向量则，a·b = cos

6. 点乘的几种情况：

   1. 结果为0：两向量垂直。
   2. 结果大于0：两个向量的夹角为锐角。
   3. 结果小于0：两个向量的夹角为钝角。

7. 点积的应用：

   1. 求两个向量之间的夹角的余弦值。之后使用反余弦函数解得弧度或者角度。

      1. float dot = Mathf.Dot(a1.normalized,a2.normalized);
      2. Angel = Mathf.Acos(dot)*Mathf.Rad2Deg;

   2. 判断是否进入攻击范围

      1. 圆形攻击范围：使用Vector3.Distance判断。

      2. 扇形攻击范围：使用Vector3.Dot(transform.position+this.transform.forward,playerVector-enemyVector)来判断。判断角度是否小于一个值。小于则说明进入攻击范围。

7. 叉乘：

1. 又称“叉积”或者“外积”。
2. 公式：[x1,y1,z1]X[x2,y2,z2] = （y1z2-y2z1,x1z2-x2z1,x1y2-x2y1）。
3. 几何意义：结果为一个向量，且为两个向量所组成平面的垂直向量。其模长为两个向量模长的乘积再乘其夹角的正弦值。即|aXb| = |a|*|b|*sin。
4. UnityAPI：Vector3 vector = Mathf.Cross(a,b);
5. 叉乘应用：
   1. 创建垂直于两向量的向量。
   2. 判断两个向量的相对位置。
   3. 判断相对位置，物体在左边还是右边。

2. 欧拉角：

1. 使用三个角度来存储物体方位。

2. X和Z沿自身坐标轴旋转，Y沿世界坐标轴旋转。

3. API：Vector3 eulerAngle = this.transform.eulerAngles;

4. 与向量不同，这里的欧拉角只是借用了Vector3这个结构体，所以欧拉角并没有方向和大小，其表示的是各个分量的偏移角度。

5. 优点：

   1. 只使用三个数来存储物体方位，占用空间小。
   2. 沿坐标轴旋转为单位的角度，符合人的思考。
   3. 任意三个数都是合法的，不存在不合法的欧拉角。

6. 缺点:

   1. （导致角的表示不唯一）为保证每个角度都是唯一的，unity引擎限制了欧拉角的取值：X轴限制在-90到90度，Y，Z轴限制在0到360度。
   2. 万向节死锁：当物体沿X轴旋转到±90度时，Z轴与世界Y轴会重合，此时再沿Z或者Y旋转时就会失去一个自由度。默认规定此时旋转由Y轴完成，Z轴为0。

4. 四元数结构：

在unity中有单独的Quaternion类。详细方法请参考unity手册。

1. Quaternion在3D图形学中代表旋转，由一个三维向量（X/Y/Z）和一个标量（W）组成。

2. 旋转轴为V，旋转弧度为θ。使用四元数来表示则四个分量为：

   1. qt.x = sin(θ/2)V.x(旋转轴的x分量)
   2. *qt.y = sin(θ/2)*V.y(旋转轴的y分量)
   3. qt.z = sin(θ/2)*V.z(旋转轴的z分量)
   4. qt.w = cos(θ/2)
   5. 这里的θ为弧度，unity中计算角度都为弧度。
   6. X,Y,Z,W的取值范围都为-1到1。

3. Inspector面板的rotation为四元数类型，但展示给用户的输入口为欧拉角类型。其内部原理是使用Quaternion.Euler()来将输入的欧拉角转换为四元数。

4. API创建四元数：Quaternion qt = new Quaternion();

5. 四元数之间通过相乘实现角度累加的效果：

   1. qt *= Quaternion.Euler(10,0,0) 等同于下面的欧拉角
   2. Vector3 vt += new Vector3(10,0,0)

6. 四元数的优点：

   1. 避免万向节死锁

7. 四元数的缺点：

   1. 难于使用
   2. 存在不合法的四元数。

8. 四元数要和欧拉角配合使用，相互互补。

9. 通过代码访问当前物体的角度：

   1. 欧拉角：this.transform.eulerAngles
   2. 四元数：this.transform.rotation

10. 四元数计算（四元数没有加减操作）：

    1. 四元数 * 四元数 实现旋转效果的组合。
    2. 四元数 * 向量 实现向量旋转四元数大小的角度。此相乘必须为左乘。

5. 坐标系

unity坐标系为左手坐标系，四指指向z轴方向，向x轴弯曲，大拇指指向Y轴方向。

Unity坐标系：

World space：世界坐标系

1. 整个场景的固定坐标。
2. 作用：在游戏场景中表示每个游戏对象的位置和方向。

Local space：自身坐标系

1. 每个物体的独立坐标系，随物体的移动或者旋转而改变。
2. 用于表示物体间的相对位置和方向。

Screen space：屏幕坐标系：

1. 以像素为单位，屏幕左下角为（0，0）点，右上角为（Screen.width,Screen.Height）。屏幕坐标系隐式保留了z轴以方便坐标系的转换。z轴表示到相机的距离。
2. 用于表示物体在屏幕的位置。

Viewport space：视口坐标系：

1. 左下角为（0，0）右上角为（1，1），和屏幕坐标系一样保留了z轴，z轴表示到相机的距离。
2. 用于表示物体在相机中的位置。

坐标系转换：

Local --》World：

1. transform中提供的一些常量：

   1. transform.forward ==> rotation * Vector3.forward
   2. transform.right ==> rotation * Vector3.right
   3. transform.up ==> rotation * Vector3.up
   4. 会随着物体一起旋转，但如果想要跟随物体还需要加position

2. transform.TranformPoint(Vector3 vector):

   1. 转换点，受到物体位置，旋转，缩放影响（转换方向矢量请使用TransformDirection）。

3. transform.TransformDirection(Vector3 vector):

   1. 转换方向，只受物体旋转影响。

4. transform.TransformVector（Vector3 vector）：

   1. 受物体旋转和缩放影响。

World --》Local：

1. 在转世界坐标系的方法前面加Inverse

World --》Screen/ViewPoint：

1. 相机引用.WorldToScreen[Viewpoint]Point（Vector3 vector）；

Screen/ViewPoint --》World：

1. 相机引用.Screen[Viewpoint]ToWorldPoint（Vector3 vector）；