C++基础算法①——高精度加减法计算

1.导论

当我们利用计算机进行数值计算，有时候会遇到这样的问题： n！的精确结果是多少？
当n小于30的时候，我们当然可以通过电脑自带的计算器计算出来。但是当我们遇到 100! 的时候就没有办法直接计算出精确的结果。再比如，求两个20000位的数的和。

那怎么解决精度缺失的问题？
高精度算法（High Accuracy Algorithm） 是处理大数字的数学计算方法。

• 在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几千亿几百亿的大数字。一般这类数字我们统称为高精度数，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘，开方等运算。对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储。
• 于是，将这个数字拆开，拆成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中， 用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。
• 高精度算法就是能处理高精度数各种运算的算法，但又因其特殊性，故从普通数的算法中分离，自成一家。
• 高精度处理，实际上就是模拟法，模拟手算，它的原理与我们用竖式计算时一样的，不过在处理过程中要注意高精度数据的读入、转换储存、数据的计算、结果位数的计算、输出等几个问题。

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2.高精度+低精度

有一个很大的数，例如 99999999999999999；一个小的数6666。如何把这两个数加起来呢？

高精度的加法思想

1. 把大数存到字符串;

2. 字符串的每个字符数字都通过ASCII转换存到数组,
   注意的是要低位存在数组开头:a[i] = s[len-i-1]-‘0’;

3. 加法进位的算式:
   ① a[i+1] += a[i]/10;
   ② a[i] %= 10;

4. 数字溢出，长度+1;

5. 反向输出结果;

来看下我们怎么做的，以C++语言编程为例子。

#include
#include
using namespace std;
string s1;
int a[1000],b; 
int main(){
	cin>>s1>>b; // 1.输入数值 

代码中，s1数组存的是大数，b整数存小数。
① 1234 + 66
② 123456 + 99
按照数学加法运算，是先个位数与个位数相加，也就是
① s1[3] + 6
② s1[5] + 9
由上面可知，个位数+个位数的索引下标不一致，会增加编程难度。那可以考虑把数组倒序存储！个位数放到数组开头位置也就是s1[0]，那无论数值多大，数组下标都是s1[0] 开始进行加法的。

//	s1存到数组a里面，记得转为整数
	int len1 = s1.size(); //获取长度
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0';
	} 

因为s1是字符串要通过ASCII码表转成整数，所以要减掉 -‘0’。

好，上面我们已经完成把大数存到数组里了，接着要进行加法运算。

• 把小数先加到a[0]位置: a[0] +=b; 例如 1234 + 89 =》a[0] = 1323;
• 接着把新的个位数留在a[0]，其他位数进行 进位操作。

a[0+1] += a[0] /10; // a[1] = 3+132 = 135  
a[0] = a[0] % 10; // a[0] = 3

• 以此类推，更新十位数，其他位数进位操作。

	//3.进行加法运算。
	a[0]+=b; // 5+9999 10004
	//4.进位操作
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i+1] += a[i] / 10;
		a[i] = a[i] % 10;
	}

加法运算后，要考虑到数子溢出的情况； 例如 999 +11 == 1010 多出来了千位数。解决这个问题简单，判断最高位是否不为0，满足条件就再一次进行进位操作！

	//5.考虑到数字溢出 
	while(a[len1]){
		a[len1+1] += a[len1]/10;
		a[len1] %= 10;
		len1++;
	} 

最后输出结果，记得要反向，因为前面我们a[0] 是最低位，输出从左到右是高位到低位的。

	//6.反向输出
	for(int i=len1-1;i>=0;i--){
		cout<<a[i];
	}

高精度+低精度完整代码如下：

#include
#include
using namespace std;
string s1;
int a[1000],b; 
int main(){
	cin>>s1>>b;
//	s1存到数组a里面，记得转为整数
	int len1 = s1.size();
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0';
	} 
	//3.进行加法运算。
	a[0]+=b; // 5+9999 10004
	//4.进位操作
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i+1] += a[i] / 10;
		a[i] = a[i] % 10;
	}
	//5.考虑到数字溢出 
	if(a[len]){
		len++;
	} 
	//6.反向输出
	for(int i=len1-1;i>=0;i--){
		cout<<a[i];
	}
} 

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3.高精度+高精度

跟上面步骤相似。

高精度的加法思想：

1. 把大数存到字符串;
2. 字符串的每个字符数字都通过ASCII转换存到数组,
   注意的是要低位存在数组开头:a[i] = s[len-i-1]-‘0’;
3. 获取最大的数长度:max(len1,len2) ;
4. 加法进位的算式:
   ① a[i+1] += a[i]/10;
   ② a[i] %= 10;
5. 数字溢出，长度+1;
6. 反向输出结果;

#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[100001];
int main(){
//	1.输入值，长度 
	cin>>s1>>s2;  
	int len1 = s1.size();
	int len2 = s2.size(); 
//	2.把字符转为整数存到数组
//  注意要个位存到数组开头 
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0';
	} 
	for(int i=0;i<len2;i++){
		b[i] = s2[len2-i-1]-'0';
	}

两个大数都要存到字符串，再转为整数。然后按照位数，数组下标依次相加，也就是a[i]+b[i]。加到什么时候停止是由长度最大的数决定的，所以我们要求最大的数长度，再进行加法。

//	3.获取最大的数。 
	int len = max(len1,len2);
	// 对各个位数进行相加并把最新的值存到输出C里面。
	for(int i=0;i<len;i++){
		c[i]=a[i]+b[i];
	}

通过c[i] = a[i]+b[i]; 可能会出现例如 c[0] = 11，大于10的情况，需要进位！

	//4.进位
	for(int i=0;i<len;i++){
		c[i+1] += c[i]/10;
		c[i] %= 10; 
	}

还是一样的，进位后考虑到溢出问题，然后反向输出

	//6.考虑到数字溢出 
	if(a[len]){
		len++;
	} 
	//7.反向输出 
	for(int i=len-1;i>=0;i--){
		cout<<a[i];
	}

高精度+高精度完整代码：

/*
高精度的加法思想
	1.把大数存到字符串; 
	2.字符串的每个字符数字都通过ASCII转换存到数组,
	注意的是要低位存在数组开头:a[i] = s[len-i-1]-'0';
	
	3.获取最大的数长度:max(len1,len2) ;
	4.把a,b值加入到c数组： c[i] = a[i]+b[i]; 
	
	5.c数组加法进位的算式:
	①	c[i+1] += c[i]/10; 
	②  c[i] %= 10;
	
	6.数字溢出，长度+1;
	7.反向输出结果;
*/
#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[100001];
int main(){
//	1.输入值，长度 
	cin>>s1>>s2;  
	int len1 = s1.size();
	int len2 = s2.size(); 
//	2.把字符转为整数存到数组
//  注意要个位存到数组开头 
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0';
	} 
	for(int i=0;i<len2;i++){
		b[i] = s2[len2-i-1]-'0';
	}
//	3.获取最大的数。 
	int len = max(len1,len2);
	// 对各个位数进行相加 
	for(int i=0;i<len;i++){
		c[i]=a[i]+b[i];
	}
	//4.进位
	for(int i=0;i<len;i++){
		c[i+1] += c[i]/10;
		c[i] %= 10; 
	}
	//5.溢出
	while(c[len]==0 && len>0){
		len--;
	} 
	if(c[len]>0){
		len++;
	} 
	//6.反向输出 
	for(int i=len-1;i>=0;i--){
		cout<<c[i];
	}
	return 0;
} 

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4.高精度减法

减法是这样要求的，当两数相减<0，要输出带负 ‘-’ 号！

高精度减法的思想：

1. 输入两个大数;

2. 判断大小，固定s1恒大于s2:

3. 获取长度;

4. 字符变整数：a[i] = s1[len1-i-1]-‘0’;

5. 减法运算:
   ① if(a[i] a[i+1]–; //上位–
   a[i]+=10; // 本位+10
   }
   ② c[i] = a[i]-b[i];

6. 去除前导零;

7. 反向输出;

看下，输入值，输入第一个代表减数，第二个代表被减数；我们知道减法是会有负数情况的，所以要考虑到减数<被减数情况。也就是 减数长度 < 被减数长度 或者 长度相等情况 减数值 < 被减数值。那我们就输出 ‘-’ 号，和交换两个的值。永久实现减数 恒大于 被减数！！！

#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[10000];
int main(){
//	1.输入值
	cin>>s1>>s2;
//	2.判断大小,固定s1恒大于s2 
	if(s1.size()<s2.size() || s1.size()==s2.size() && s1<s2){
		swap(s1,s2); //交换值
		cout<<"-";
	} 
//	3.获取长度
	int len1 = s1.size(); 
	int len2 = s2.size();  
//	4.字符变整数
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0';
	} 
	for(int i=0;i<len2;i++){
		b[i] = s2[len2-i-1]-'0';
	} 

转为整数存到数组里面后，进行减法运算，根据减法规则，不够减的要借位+10，被借位的要减1。例如 1234 - 66。 如果 a[0] - b[0] < 0，就要借位+10，也就是 a[0] + 10 后再减 b[0]；然后被借位 a[0+1]–；

	//5.减法运算 
	for(int i=0;i<len1;i++){
		if(a[i]<b[i]){
			a[i+1]--; //被借位-- 
			a[i]+=10; // 本位+10 
		}
		c[i] = a[i]-b[i];  //相减结果存到数组c
	} 

要注意的是：123 -120 = 003，前面的零要消除掉。然后再反向输出。

	//6.去除前导零
	while(c[len1-1]==0 && len1>1){
		len1--;
	} 
	//7.反向输出
	for(int i=len1-1;i>=0;i--){
		cout<<c[i];
	} 

高精度减法完整代码：

/*
高精度减法的思想
	1.输入大数; 
	2.判断大小,固定s1恒大于s2:
	if(s1.size()1){
		len1--;
	} 
	7.反向输出;
*/
#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[10000];
int main(){
//	1.输入值
	cin>>s1>>s2;
//	2.判断大小,固定s1恒大于s2 
	if(s1.size()<s2.size() || s1.size()==s2.size() && s1<s2){
		swap(s1,s2); //交换值
		cout<<"-";
	} 
//	3.获取长度
	int len1 = s1.size(); 
	int len2 = s2.size();  
//	4.字符变整数
	for(int i=0;i<len1;i++){
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0';
	} 
	for(int i=0;i<len2;i++){
		b[i] = s2[len2-i-1]-'0';
	} 
	//5.减法运算 
	for(int i=0;i<len1;i++){
		if(a[i]<b[i]){
			a[i+1]--; //上位-- 
			a[i]+=10; // 本位+10 
		}
		c[i] = a[i]-b[i]; 
	} 
	//6去除前导零
	while(c[len1-1]==0 && len1>1){
		len1--;
	} 
	//7.反向输出
	for(int i=len1-1;i>=0;i--){
		cout<<c[i];
	} 
	
	return 0;
}