【每日一题】补档 CF1792C. Min Max Sort | 思维 | 简单

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给定一个长度为 n n n 的排列 p p p ,每次可以选择 ( x , y ) , x < y (x,y), x(x,y),x<y 两个数,将 x x x 挪到排列最前面, y y y 挪到排列最后面。问至少要操作多少次可以使得这个排列单调递增。

数据范围

  • 1 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 1\leq n\leq 2\cdot 10^5 1n2105
  • 1 ≤ p i ≤ n 1\leq p_i\leq n 1pin p i p_i pi 各不相同

题解

考虑要使得单调递增,每次必然选择的是 ( x , n − x + 1 ) (x,n-x+1) (x,nx+1)
但是选择了 ( x , n − x + 1 ) (x,n-x+1) (x,nx+1) ,那么 ( 1 , n ) , ( 2 , n − 1 ) , . . . , ( x − 1 , n − x + 2 ) (1,n),(2,n-1),...,(x-1,n-x+2) (1,n),(2,n1),...,(x1,nx+2) 必然需要都进行一次。

那么什么时候需要去操作呢?

我们考虑选择 ( x , n − x + 1 ) (x,n-x+1) (x,nx+1) 时,已经可以在排列中找到一个子序列 ( x + 1 , x + 2 , ⋯   , n − x + 1 , n − x ) (x+1,x+2,\cdots,n-x+1,n-x) (x+1,x+2,,nx+1,nx)

如果 i n d e x [ x ] > i n d e x [ x + 1 ] index[x]>index[x+1] index[x]>index[x+1] 或者 i n d e x [ n − x + 1 ] < i n d e x [ n − x ] index[n-x+1]index[nx+1]<index[nx] 或者 i n d e x [ x ] > i n d e x [ n − x + 1 ] index[x]>index[n-x+1] index[x]>index[nx+1] ,则我们必须操作 ( x , n − x + 1 ) (x,n-x+1) (x,nx+1) ,否则在当前的排列中就已经找到 ( x , x + 1 , x + 2 , ⋯   , n − x + 2 , n − x + 1 , n − x ) (x,x+1,x+2,\cdots,n-x+2,n-x+1,n-x) (x,x+1,x+2,,nx+2,nx+1,nx) 这个子序列了,那么就不需要操作了。

此外,操作了 ( x , n − x + 1 ) (x,n-x+1) (x,nx+1) 后, x x x 在最前面, n − x + 1 n-x+1 nx+1 在最后面,那么需要按照 ( x − 1 , n − x + 2 ) , ( x − 2 , n − x + 3 ) , ⋯   , ( 1 , n ) (x-1,n-x+2),(x-2,n-x+3),\cdots,(1,n) (x1,nx+2),(x2,nx+3),,(1,n) 这样的顺序来操作这 x − 1 x-1 x1 对,故有 x x x 次操作。

时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

代码

#include 
using namespace std;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    vector<int> pos(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
        pos[a[i] - 1] = i;
    }

    int ans = 0;
    int minv = -1, maxv = -1;
    for (int r = n / 2; r < n; ++r) {
        int l = n - 1 - r;
        if (pos[l] > pos[r]) {
            ans = l + 1;
            break;
        }
        if (minv != -1 && (pos[l] > minv || pos[r] < maxv)) {
            ans = l + 1;
            break;
        }
        minv = pos[l];
        maxv = pos[r];
    }

    cout << ans << "\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}

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