近世代数——Part2 群：基础与子群 课后习题

前言

这是对Joseph-Gallian的《Contemporary Abstract Algebra》的第三章——有限群和子群的练习题解答。碍于我的水平，仅供参考。

1. 阶相关问题

对于下面每个群，计算群的阶和元素的阶，尝试观察两者的关系。
$Z_{12},U(10),U(12),U(20),D_4$

Answer: $|Z_{12}|=12,|0|=1,|1|=12,|2|=6,|3|=4,|4|=3,|5|=12,|6|=2,|7|=12,|8|=3,|9|=4,|10|=6,|11|=12$
$|U(10)|=|\{1,3,7,9\}|=4,|1|=1,|3|=4,|7|=4,|9|=2$
$|U(12)|=|\{1,5,7,11\}|=4,|1|=1,|5|=2,|7|=2,|11|=2$
$|U(20)|=|\{1,3,7,9,11,13,17,19\}|=8,|1|=1,|3|=4,|7|=4,|9|=2,|11|=2,|13|=4,|17|=4,|19|=2$
$|D_4|=8,|R_0|=1,|R_{90}|=4,|R_{180}|=2,|R_{270}|=4,|H|=2,|V|=2,|D|=2,|D^{\prime }|=2$

可见，群元素的阶是群阶的约数。

2. 生成元计算

设$Q$是加法有理数群，$Q^{\ast }$是非$0$有理数乘法群，在这两种情况下，表示出$⟨\frac{1}{2}⟩$

Answer: 有理数加法群里，$⟨\frac{1}{2}⟩=\frac{1}{2}n$，$n$为整数；在乘法群里，$⟨\frac{1}{2}⟩=(\frac{1}{2}{)}^n$，$n$为整数。

3. 群元素的阶

找到2中$Q$和$Q^{\ast }$中，所有元素的阶。

Answer: 在$Q$中，$|0|=1$，其他元素阶都是无穷；在$Q^{\ast }$中，$|1|=1$，其他元素阶都是无穷

4. 群元素阶相关证明

证明所有元素和它的逆的阶相等。

Answer：$a$是单位元时显然成立；假定$|a|>1$，不妨设为$n$，$a^n{a}^{-n}=e,a^n=e$，显然$(a^{-1}{)}^n=e$，假定存在$k<n$使得$(a^{-1}{)}^k=e$，那么$a^k=e$，与前面矛盾。

5. 阶的理解

不计算来解释为什么在$Z_{30}$中，$|2|=|28|，|8|=|22|$

Answer: 因为这些元素互为逆。

6. 元素阶的计算

在群$Z_{12}中，$计算$|a|,|b|,|a+b|$

Answer: 对于$a=6,b=2$有，$|a|=2,|b|=6,|a+b|=3$
对于$a=3,b=8$有，$|a|=4,|b|=3,|a+b|=12$
对于$a=5,b=4$有，$|a|=12,|b|=3,|a+b|=4$

7. 计算

$|a|=6,|b|=7$，表示出$(a^4{c}^{-2}{b}^4{)}^{-1}$，不用负指数。

Answer: $(a^4{c}^{-2}{b}^4{)}^{-1}=b^{-4}{c}^2{a}^{-4}=b^3{c}^2{a}^2$

8-9 没明白想问什么

10. 子群的阶相关问题

$D_4$有多少个四阶子群？

Answer: 即，四个元素的子群，首先$R_0,R_{90},R_{180},R_{270}$是一个4阶子群，它是$R_{90}$生成的；
然后可以意识到$H,V,D,D^{\prime }$单独只能生成2阶子群。
观察下，$\{H,V\}$生成的子群，$H,V$可交换，所以必然包括$HV$，这几个群元已经封闭，即$\{R_0,H,V,HV\}$
同理可得$\{R_0,D,D^{\prime },D{D}^{\prime }\}$
共三组

11. 元素阶相关问题

找出所有非零实数乘法群有限阶的所有元素

Answer: $1$

12. 元素阶相关问题

找到$x=x^{-1}$的等价条件是$|x|$等于多少？

Answer: 等价的话，直接根据$x=x^{-1}$来计算阶就好。由于$x=x^{-1},e=x{x}^{-1}=xx=x^2$，显然，阶为1和2均可。

13. 元素阶相关证明

$\forall a,x\in G$，证明$|xa{x}^{-1}|=|a|$

Answer: 要证明的命题其实是当最小的$n$使得$a^n=e$时，得出最小的$n$使得，$(xa{x}^{-1}{)}^n=e$.
$n=1$时显然；对于$n>1$时，以前者作为条件，那么$(xa{x}^{-1}{)}^n=xa{x}^{-1}xa{x}^{-1}\cdots xa{x}^{-1}=x{a}^n{x}^{-1}=e$；那么此时的$n$对于后者是最小的吗？假定存在一个更小的$1<k<n$使得$x{a}^k{x}^{-1}=e$，那么将这个式子左乘$x^{-1}$，右乘$x$可得：$a^k=e$，显然与条件矛盾，故所证成立。

14. 群的中心相关证明

证明：如果$a$是群$G$中唯一一个阶为2的元素，那么$a\in Z(G)$

Answer: 这个问题乍一看很难有思绪，但考虑一下前一题的结论似乎有用武之地，就可以明白了。$\forall b\in G,|ba{b}^{-1}|=|a|=2$，由于只有一个元素的阶是2，那么$ba{b}^{-1}$自然就是$a$，那么可得$ba=ab$，QED

15. 真子群相关证明

证明：没有群是两个真子群的并。并探讨一下三个真子群的情况下这个命题成立吗？

Answer: 假定有两个真子群的并是群，$G=G_1\cup G_2$，那么必然存在元素$a\in G_1\wedge a\notin G_2,b\in G_2\wedge b\notin G_1$，那么考虑元素$ab$，它如果属于$G_1$，那么$b$也属于$G_1$；如果它属于$G_2$，那么$a$也一点属于$G_2$，推出矛盾。QED
三个真子群是可以做到的，克莱因四元群即可做到

16. 群元素的阶

如果$G$是圆对称群，$R$表示旋转$\sqrt{2}$度，$|R|$是多少？

Answer: 这等效于$2\pi$可以整除多少倍的$\sqrt{2}$，显然没有整数解，所以阶是无穷。

17. 子群相关证明

对于$n$的每个大于1的约数，让$U_k(n)=\{x\in U(n)\mid x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k=1\}$，证明$U_k(n)$是$U(n)$的子群。如果$H=\{x\in U(10)\mid x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3=1\}$，那么$H$是$U(10)$的子群吗？

Answer: 有限子群只需要证明封闭性即可。
对应任意$a,b\in U_k(n)$，显然有：$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k=1,b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k=1$，可写成$a=1+a_{n}k,b=1+b_{n}k$，那么两元素模$n$的积是$ab\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=(1+(a_n+b_n)k+a_n{b}_n{k}^2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}kt$，这个模的结果将会是$1+km$的形式，再模$k$将得到$1$，故满足封闭性。QED。
$U(10)=\{1,3,7,9\},H=\{1,7\}$，不是子群，因为$7\times 7\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10=9$, 在$H$外部，所以不满足封闭性，不是子群。

18. 元素的阶

如果$a^6=e$，$|a|$可能是多少？

Answer: 可以是2，3，6

19. 元素阶相关证明

假定$a$是群元素且阶无限，证明当$m\ne n$时，$a^m\ne a^n$.

Answer: 这个命题逆命题的成立等价于说存在某个$k$使，$a^k=e$，这显然矛盾。

20. 元素阶相关证明

$\forall a,b\in G$, 证明：$|ab|=|ba|$

Answer: 假设$ab$有有限阶$n$，那么$(ab{)}^n=e$，即$abab\cdot ab=e\to baba\cdots ba=e$（左乘$a^{-1}$右乘$a$），显然$(ba{)}^n=e$，然后证明最小的$n$，用反证法，设一个$ba$更小的阶$k$，反推$ab$的$k$次幂也等于$e$，推出矛盾。
如果$ab$有无限阶，那么$ba$也必定是无限阶，证明方法同上面的反证过程。

21. 群的阶和元素的阶比较

证明：元素的阶小于等于群的阶。

Answer: 阶无限情况下，元素的阶可能有限也可能无限，群阶必然无限。这种情况下不做比较。阶有限情况下，对于任意元素，做一个列表$a,a^2,\cdots ,a^n$，有限阶情况下一定出现循环，让$a^n=a^i,i<n$，那么$a$的阶就是$n-i$，群的阶必然超过$n-i$。

22. 生成元

证明：$U(14)=⟨3⟩=⟨5⟩$；判断$U(14)=⟨11⟩$?

Answer: $U(14)=\{1,3,5,9,11,13\}$，$3$生成的元素为：$3,9,13,11,5,1$，$5$生成的元素是：$5,11,13,9,3,1$
$11$生成的元素是：$11,9,1$，只能生成一个子群，而不能生成$U(14)$。

23. 生成元

证明：$U(20)\ne ⟨k⟩\forall k\in U(20)$

Answer: $U(20)=\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$，逐个验证即可，元素的阶都小于群的阶

24. $Z_n$子群元素的偶数元素个数

假定$n$是正偶数，$H$是$Z_n$的一个子群，证明：$H$中每一个元素都是偶数或者有一半元素是偶数。

Answer: $Z_n$是模$n$加法群，是一个循环群，循环群有一个性质（应该放在下节讲，现在直接用），循环群的所有子群都是循环群。那么$H=⟨k⟩$，如果$k$是偶数，那么$H$肯定全是偶数；如果$k$是奇数，那么$k^2$将是偶数，$k^3$将是奇数，以此类推，直到$k^i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=0$，可知$k^i$是偶数，故$k$生成的子群里有一半偶数。

25. $Z_n$奇阶子群偶数元素个数

证明：假定$n$是正偶数，$Z_n$所有奇数阶子群每个元素都是偶数。

Answer: 根据24题的说明可知，奇数生成的子群中，元素个数只能是偶数，那么奇数阶子群只可能是偶数生成的，里面元素肯定都是偶数，现在证明奇数阶子群存在即可。考虑到循环群等效于一个单位元上等间隔分布的点，那么假定$n=360$，那么$k=120$就会生成一个$3$阶子群：$\{120,240,0\}$

26. 二面体群的元素

证明：$D_n$的所有子群，要么所有元素都是旋转，要么一半元素是旋转。

Answer: 暂时想不到

27. 二面体群的奇阶子群旋转元素个数

证明：$D_n$的所有奇数阶子群中，每个元素都是旋转。

Answer: 暂时想不到

28. 子群的阶相关证明

证明：一个群包含两个可交换的，阶为2的元素，那么这个群必然有一个阶为4的子群。

Answer: 设这两个元素为$a^2=e,b^2=e$，那么存在一个4阶子群$\{e,a,b,ab\}$

29. 二面体群的子群

证明：当$n$是偶数时，$D_n$有4阶子群

Answer: 根据28题的结果，找到两个可交换的镜面反射元素即可，对称轴垂直就可交换。

30. 子群

假定$H$是$Z$的在加法下的真子群，且$H$包含$18,30,40$，求$H$.

Answer: $H=⟨2⟩$

31. 子群

假定$H$是$Z$的在加法下的真子群，且$H$包含$12,30,54$，求$H$可能是？

Answer: 可能是$2$生成的子群，$3$生成的子群，$6$生成的子群。

32. 子群

假定$H$是$Z$的在加法下的子群，且$H$包含$2^{50},3^{50}$，求$H$可能是？

Answer: $H$必定是这两个元素公约数生成，显然是1生成的，那么$H=Z$

33. 6阶二面体群没有4阶子群

证明：6阶二面体群没有4阶子群

Answer: 6阶二面体群实际上是$D_3$，有3个旋转和3个镜像。
任意两个旋转必然生成剩下一个旋转，因此子群如果存在2个旋转，必然同样存在3个旋转。那么只能再包含一种对称，再包含任何一种对称都将生成其他对称。因此不存在包含2个以及以上旋转的4阶子群；
如果只包含一个旋转，那必然是$R_0$，另外3个镜像，将生成其他旋转。
QED
为了更明晰，通过$D_3$作用在三角形$ABC$上，表示作用效果。如果包含所有旋转，$R_{120}$将得到$CAB$，$R_{240}$将得到$BCA$。如果对称是$ACB$，再将$R_{120}$作用上去得到$BAC$，这是经过C点的对称轴产生的新的镜像。

34. 子群的交

证明：$H\le G,K\le G\to H\cap K\le G$，扩展一下，可以证明任意数量（甚至无限个）的子群的交仍然是子群吗？

Answer: 先尝试证两个的。
首先，子群之交集必然包含$e$，因此集合非空。
封闭性：如果$a\in H\cap K,b\in H\cap K$，由于$H,K$的封闭性，$ab\in H,ab\in K\to ab\in H\cap K$
逆元存在：如果$a\in H\cap K$，那么$a^{-1}\in H,a^{-1}\in K\to a^{-1}\in H\cap K$
QED.
任意数量的子群仍是同样的证明方法。

35. 群的中心证明

证明：$Z(G)={\cap }_{a\in G}C(a)$

Answer: 设任意元素$k\in Z(G)$，$k$与$i\in G$可交换，那么$k\in {\cap }_{a\in G}C(a)$
这个也不太确信怎么证，这个式子的成立是比较明显的。

36. 群中心化子

证明：对于$a\in G$，证明$C(a)=C(a^{-1})$

Answer: 即所有与$a$可交换的元素必然与$a^{-1}$可交换的元素集合一致。
只要证明前者集合任意元素属于后者，再证后者所有元素属于前者即可证明集合一致。
$\forall i\in G,ia=ai$，那么$a^{-1}ia=i,a^{-1}i=i{a}^{-1}$，故前者元素属于后者；
同样的方法可反过来证。

37. 群中心化子

对群任意元素$a$和整数$k$，证明: $C(a)\subseteq C(a^k)$. 然后用这个定理来完成下面的命题：“在群中，如果$x$与$a$可交换，那么…”，反过来正确吗？

Answer: 上述集合属于关系的换一种说法即是：任何可与$a$交换的元素，必然可以与$a^k$交换（这实际上就是下面那个待补充的陈述句）
如果$ax=xa$，右乘$a$可得：$axa=x{a}^2$，等号前面由于$xa$可交换，可写成$a^{2}x=x{a}^2$，这种方法持续下去，就可得到$a^{k}x=x{a}^k$。
故补充陈述句为：在群中，如果$x$与$a$可交换，那么$a$的任意次幂也与$x$可交换。
反过来，未必成立。

38. 阿贝尔群的子群

如果$G$是阿贝尔群，证明: $H=\{x\in G\mid |x|isodd\}$是$G$的子群。

Answer: 设$a,b\in H$，由于元素和它的逆具有相同的阶，所以$b^{-1}\in H$，那么假设$a^m=e,b^n=e$。
注意到一个事实，如果$a^k=e$，那么$m\mid k$，即元素的阶是$k$的约数。
由于$(a{b}^{-1}{)}^{mn}=e$，那么$|a{b}^{-1}|$必然是$mn$的约数，$mn$是奇数，约数也必然是奇数，故$a{b}^{-1}\in H$，QED

39. 阿贝尔群的子群

如果$G$是阿贝尔群，找到一个例子，说明 $H=\{x\in G\mid |x|isevenor1\}$不需要是$G$的子群。

Answer: 模6加法群，$Z_6=\{0,1,2,3,4,5\}|0|=1,|1|=6,|2|=3,|3|=2,|4|=3,|5|=6$，显然$H$包含1这个生成元但不包含$2$，它不是一个子群。

40. 群元素相关证明

如果$a,b$是不同的群元素，证明：$a^2\ne b^2\vee a^3\ne b^3$

Answer: 其实直接证明这个命题的否命题为假即可。这个问题的否命题是：$a\ne b\to a^2=b^2\wedge a^3=b^3$，后两个等式肯定不能同时成立，因为消去律。

41. 子集生成的子群

设$S\subseteq G$，$H$是所有包含$S$的子群的交集。
a. 证明： $⟨S⟩=H$
b. 如果$S$非空，证明：$⟨S⟩=\{s_1^{n_1}{s}_2^{n_2}\cdots s_m^{n_m}\mid m\ge 1,s_i\in S,n_i\in Z\}$

Answer:
a. 根据定义，$⟨S⟩$是所有包含$S$的子群中，最小的一个；而$H$显然正是（根据34题）。
b. 这种写法实际上是说，$⟨S⟩$里的元素是所有$S$的元素以任意方式乘积生成的所有元素。显然，证明这个集合是个群即可，封闭性显然满足，逆元显然存在（幂可取负值）,QED

42. 子集生成子群计算

在整数加法群$Z$中

a. 求$⟨8,14⟩$，根据41题结论，就是两个元素的线性组合，$8n+14m$，这个子群应该包含所有偶数，故可以由$2$生成。
d. 求$⟨m,n⟩$，求任意两个元素生成的群，可以根据a同样的方法，得到这个子群是$⟨\gcd (m,n)⟩$。

43. 证明群中心化子是子群

已经在上节正文中证明过了。

44. 群的中心化子相关证明

假定$H\le G$, 定义$C(H)=\{x\in G\mid xh=hx\forall h\in H\}$，证明: $C(H)\le G$

Answer: 目的证明子群。
首先证明封闭性：$\forall a,b\in C(H)$，有：$ah=ha,bh=hb$，前面式子右乘$b$可得：$ahb=hab=abh$，故$ab\in C(H)$；
然后证明逆元素的存在：$\forall a\in C(H)$，同样的方法，将$ah=ha$，左右各乘$a^{-1}$可得：$a^{-1}ah{a}^{-1}=a^{-1}ha{a}^{-1}\to h{a}^{-1}=a^{-1}h$
QED

45. 群的元素的中心化子和群的中心是阿贝尔群吗

题目如题

a. 首先，中心化子是所有与某个特定元素可交换的元素集合，初步估计中心化子未必都是阿贝尔的，找一下反例，很容易发现任意群中，$e$的中心化子就是群本身，而任意群不一定是阿贝尔的。
b. 群的中心肯定是阿贝尔的，从定义就能得知。

46. 群的阶和中心化子相关证明

假定：$a\in G,|a|=5$，证明：$C(a)=C(a^3)$。并且找到一个元素$a$满足，$|a|=6,C(a)\ne C(a^3)$

a. 证明部分
首先等号的成立是有条件的，与$a$可交换必然与$a^3$可交换，但反之推不出。但如果可知$a^5=e$，那么$a^{3}x=x{a}^3\to a^{6}x=x{a}^6\to ax=xa$。QED
b. 找反例
$D_6$群中，$a=R_{60}$应该是一个反例，没仔细验算，根据$D_4$群的特性类推的。

47. 阿贝尔群的子群相关证明

假定$G$是阿贝尔群，证明：满足$x^n=e$的所有元素构成$G$的一个子群。给出一个例子，对于一个群，所有满足$x^2=e$的元素不形成一个子群。

首先，a. 证明部分：
可交换性：$a^n=e,b^n=e\to (ab{)}^n=a^n{b}^n=e$
逆元素存在：$a^n=e\to (a^{-1}{)}^n=e$
b. 举反例：$D_4$中，除了$R_{90},R_{270}$都满足题设条件，但剩余的元素足够生成整个群。

48. 乘积的阶

举例：满足$|a|=|b|=2$的情况下，又有a. $|ab|=3$. b. $|ab|=4$. c. $|ab|=5$，能看出乘积的阶和元素的阶的关系吗？

很明显，根据上一个题目，阿贝尔群中没有例子。而非阿贝尔群还是只能看$D_4$等，但是$D_4$中没有阶为$3$的元素；先看看$D_3$，假定用三角形三个顶点顺序代表$D_3$中元素对三角形的作用，$R_0$的作用是$ABC$，$R_{120}$是个$3$阶元素，作用在三角形上会得到：$CAB$。通过$A$的镜像对称后得到$ACB$，在通过原先$C$点镜像的元素作用得到$CAB$，因此找到了a情况的例子。
b. 情况同样在$D_4$中找两个镜像元素乘积得到$R_{90}$即可。
c. 情况同理，在$D_5$中找。

49. 偶阶群的阶2元素数目

证明：偶数阶群一定有奇数个阶2的元素。

首先，阶为2的元素一定满足$x=x^{-1}$，而任何阶大于$2$的元素，与自身的逆都不相等；又因为，元素和逆的阶相等，所以阶大于$2$的元素总是成对出现，一定是偶数，阶为1的元素只有一个$e$，因此，阶为$2$的元素一定有偶数减偶数再减1个，是奇数个。

50. 特殊线性群中求元素的阶

求$|A|,|B|,|AB|$，其中$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$，属于$SL(2,R)$

显然$|A|=4$, $B^2=\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right],B^3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=e$, 故$|B|=3$
$AB=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$，这肯定是无穷阶的。

51. 幂的阶

证明：$|a^d|=n/d$，其中$|a|=n,d\mid n,d>0$

显然$(a^d{)}^{n/d}=e$，现在说明$n/d$是最小的满足次式子的解。假定存在一个更小的数$k<n/d$，满足$(a^d{)}^k=e$，那么$|a|\le dk<n$，推出矛盾，QED

52. 乘积的阶

给一个例子，满足$a$是有限阶，$b$是无限阶，$ab$是有限阶。

直接用题目50中的例子即可，$a=A^{-1},b=AB,ab=B$

53. 特殊线性群中元素的阶

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$，如果是$SL(2,Z_p)$（p是素数）的元素，$A$的阶是多少？

显然，阶是$p$

54. 特殊线性群中元素的阶

$A=\left[\begin{array}{cc}\cos 60& -\sin 60\\ \sin 60& \cos 60\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{cc}\cos \sqrt{2}& -\sin \sqrt{2}\\ \sin \sqrt{2}& \cos \sqrt{2}\end{array}\right]$，求A,B的阶。

显然，$|A|=6,|B|=\infty$

55. 圆对称群的阶

证明圆对称群中有有限阶元素和无限阶元素。

很明显，镜像和360的约数旋转是有限阶，无理数度旋转是无限阶。

56. 乘积的阶

在非零实数乘法群$R^{\ast }$中，找到两个元素满足：$|a|=\infty ,|b|=\infty ,|ab|=2$

显然，$(-1{)}^2=1$，那么只要$a=1/2,b=-2$，即可

57. 圆对称群

解释为什么圆对称群包含所有二面体群。

圆有任意镜像与任意旋转，而二面体群往往只有一部分旋转和镜像。

58. 阿贝尔群的子群

证明：阿贝尔群的有限阶元素构成子群。对非阿贝尔群成立吗？

证明封闭性和逆元就可以，封闭性很容易说明，有限阶相乘依旧是有限阶；逆元和元素阶相同，当然也是有限阶。
对于非阿贝尔群，无法保证封闭性。

59. 元素的阶

假设$G$是有限群，$H\le G,g\in G$，$n$是最小的正整数，满足$g^n\in H$，证明：$n\mid |g|$

因为$e\in H$，如果$g^n=e$，那么$|g|=n$；如果$g^n\ne e$，假设$|g|=k,g^n=a$，那么可得：$g^k=g^{nq+r}=e,r<n$，那么$g^r=g^{k-nq}=g^k{g}^{-nq}=g^{-nq}=a^{-q}\in H$，那么$r$只能为0. 否则将于最小的正整数$n$矛盾。

60. 计算群的阶

a. $U(3),U(4),U(12)$

$|U(3)|=|\{1,2\}|=2,|U(4)|=|\{1,3\}|=2$
$|U(12)|=|\{1,5,7,11\}|=4$

b. $U(5),U(7),U(35)$

$|U(5)|=|\{1,2,3,4\}|=4,|U(7)|=|\{1,2,3,4,5,6\}|=6$
$|U(35)|=|\{1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}|=24$

c. $U(4),U(5),U(20)$

$|U(20)|=|\{1,3,7,9,11,13,17,19\}|=8$

d. $U(3),U(5),U(15)$

$|U(15)|=|\{1,2,4,7,8,11,13,14\}|=8$

可以观察到关系：$|U(r)|\times |U(s)|=|U(rs)|$

61. 子群相关证明

在非零整数乘法群$R^{\ast }$里，证明：$H=\{x\in R^{\ast }\mid x^{2}isrational\}$是$R^{\ast }$的子群。并讨论如果幂2被其他正整数替换的条件下，$H$仍然是子群吗？

Answer: 首先尝试证封闭性：$x,y\in H\to (xy{)}^2=x^2{y}^2\in Q$；
证明逆的存在：$x\in H$，那么对于$y=1/x$，$y^2=1/x^2\in Q$，故逆存在。
通过这个证明过程可知，2可以被任何正整数替换使得结论仍然成立

62. 题目60的另一个例子或反例

$|U(4)|,|U(10)|,|U(40)|$符合题目60的一个反例吗？

$|U(10)|=|\{1,3,7,9\}|=4$
$|U(40)|=|\{1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39\}|=12$
是一个反例

63. 非循环子群

找到$U(40)$的阶4非循环子群

Answer: 4个元素的子群，那么元素的阶要是2和3
观察：$|9|=2,|11|=2,|13|=3,|19|=2$
取：$\{1,9,11,19\}$即可

64. 偶阶群的元素

证明：偶数阶群必有阶2的元素

Answer: 第49题已经证明过的结论，偶数阶群的阶为2的元素个数一定为奇数，0不是奇数，所以必有。

65. 矩阵加法群的子群

$G=\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\mid a,b,c,d\in Z\}$是矩阵加法群，证明$H=\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in G\mid a+b+c+d=0\}$是$G$的子群。再讨论当0被1替换时，结论仍然成立吗？

Answer: 首先封闭性很容易证明，逆也很容易证明，因为和为0的元素，再累加仍然是0，前面加个逆也仍然是0.
如果和为1，那么不是子群，封闭性就不成立。

66. 一般线性群的子群

$H=\{A\in GL(2,R)\mid det(A)\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}2\}$，证明$H\le GL(2,R)$

Answer: 一般线性群在矩阵乘法下进行二元操作，乘积的行列是等于行列式的乘积，2个2的幂相乘结果仍然是2的幂，所以封闭性满足。
矩阵和其逆矩阵行列式呈倒数关系，2的幂倒数仍是2的幂，故逆元存在。
QED

67. 实数加法群的子群

$H\le R$，$R$是实数加法群，$K=\{2^a\mid a\in H\}$，证明：$K$是$R^{\ast }$（非零实数乘法群）的子群

Answer: 不难发现，$R^{\ast }$中乘法在幂上，变成了加法，封闭性不难证。而由实数加法群中逆的存在不难证$K$中逆元的存在。

68. 函数群的子群

$G$是一个$R$到$R^{\ast }$的函数的群，二元操作是函数的乘法，$H=\{f\in G\mid f(2)=1\}$，证明：$H\le G$. 讨论2能被任意实数取代以让结论依旧成立吗？

Answer: 很明显，函数值是1，那么乘积仍然会是1，封闭性不难证。
单位元应当是恒等于1的函数，那么逆元就可推得，只要每个点函数值取倒数即可，值域没有0保证了逆存在。
QED
2可以被替换成任何实数。

69. 一般线性群的子群

$G=GL(2,R)$，请问$H=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right]\mid a,b\in \{Z-\{0\}\}\}$是$G$的子群吗？

Answer: 根据矩阵乘法，$H$中的乘操作封闭性等价于非零整数乘法操作，封闭性是成立的。
但是逆元不一定存在，可能需要有理数。

70. 复数群的子群

$H=\{a+bi\mid a,b\in R,ab\ge 0\}$，请问$H$是否是$C$在加法下的子群？

Answer: 首先对于$h_1=a_1+b_{1}i\in H,h_2=a_2+b_{2}i\in H,h_1{h}_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$，假定$a_1,b_1,a_2,b_2=2,1,-1,-2$，$h_1{h}_2=1+(-1)i$显然不满足封闭性。

71. 非零复数乘法群的子群

$H=\{a+bi\mid a,b\in R,a^2+b^2=1\}$，请问$H$是否是$C^{\ast }$在乘法下的子群？

Answer: 是子群，这显然是复平面单位圆。

72. 有限阿贝尔群的子群

$G$是一个有限阿贝尔群，$a,b\in G$，证明：集合$⟨a,b⟩=\{a^i{b}^j\mid i,j\in Z\}$是$G$的子群。可以以$|a|,|b|$的形式表示这个子群的阶吗？

Answer: 封闭性很好证明，利用阿贝尔群交换性就可说明；逆元也可根据交换性说明，幂取负值就可。设$|a|=m,|b|=n$，显然如果这两个元素可由一个元素生成。
后面这个我以为让写等式，结果答案是$|⟨a,b⟩|\le |a||b|$

73. 子群之积

$H\le G,HZ(G)=\{hz\mid h\in H,z\in Z(G)\}$，证明：$HZ(G)\le G$

首先，$z$的可交换性很容易证明封闭性：$h_1{z}_1{h}_2{z}_2=h_1{h}_2{z}_1{z}_2$
逆元也可使用相同的证法：$h_1{z}_1{h}_1^{-1}{z}_1^{-1}=e=h_1{z}_1(z_1{h}_1{)}^{-1}=h_1{z}_1(h_1{z}_1{)}^{-1}$

74. 非平凡子群的交集

$H,K$是有理数加法群的非平凡子群，证明：$H\cap K$也是非平凡子群。

很明显，这是让证明两个非平凡子群的交集不是$\{0\}$，很明显，子群必然含非0元素设为:$m\in H,n\in K$，那么它们交集必然含有元素$mn$ QED

75. 非平凡真子群

$H$是有理数加法群的非平凡子群，证明$H$有非平凡真子群。

很明显，不管$H$是怎么生成的，它必然有非零元素$a$，那么，我们用$2a$作生成元必然可以生成非平凡真子群。

76. 子群的阶

证明：阶为$n$($n\ge 3$)的群，不可能有$n-1$阶子群。

这其实是问，一个至少3个元素的子群，可以只去掉一个元素仍然构成群吗？
显然不能，我们考虑去掉的这个元素不能是两个非$e$元素的积，否则不满足封闭性；这个元素的逆也必须等于自身，否则不满足逆元的存在。那么这个元素必然满足$a^2=e$，那么再考虑另一个元素非$e$元素$b$，$ab$肯定不等于$a$，那么它肯定在子群内。同时，$ab$不可能是$e$，那么$b$和$ab$必然能再生成$a$，所以去掉$a$群绝对不会封闭。

77. 元素的阶

$a\in G,|a|=m$，如果$\gcd (m,n)=1$，证明：$a$可以写成一些元素的$n$次幂的形式。

Answer: 考最大公约数的写法，$e=a^m,a=a^{ms+nt}=a^{nt}=(a^t{)}^n$

78. 有限群的素阶元素

$G$是有超过1个元素的有限群，证明：$G$有一个素数阶元素。

Answer: 显然，如果任意元素$a\in G$的阶是合数，那么根据代数基本定理，一定可以分解为一个素数$p$乘其他数$m$，即：$a^{pm}=e\to (a^m{)}^p=e,a^m\in G$
QED