10 MIT线性代数-四个基本子空间 four fundamental subspaces

1. 四个子空间 Four subspaces (mxn)

列空间 Column space C(A) in 

零空间Nullspace N(A) in 

行空间Row space = all combs of rows = all combs of columns of AT= C(AT) in 

左零空间Left nullspace = Nullspace of AT = N(AT) = left nullspace of A in 

2. 基和维数 Basis& Dimension 

列空间 dim C(A)=r

零空间 dim N(A)=n-r

行空间

different col space but same row space

R的前r行阶梯型“行向量”就是矩阵A行空间C( AT )的一组基

Basis for row space is first r rows of R

左零空间 dim N(AT) = m-r

为找到左零空间的基，我们应用增广矩阵 

EA=R in chap. 2, R was I, Then E was 

则矩阵E最下面的m-r个行向量使得矩阵A的行向量线性组合成为0

矩阵E的这m-r个行向量满足yTA=0，它组成了矩阵A左零空间的一组基

3. 新向量空间 New vector space

All 3x3矩阵构成的集合是一个向量空间，符合对于线性运算封闭，称之为M A+B, CA

subspace of  M:

upper triangular 上三角阵

symmetric matrices 对称阵

diagonal matrices 对角阵 对角阵是前两个子空间的交集，其维数为3，具有以下一组基 

概念延伸