管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——代数——整式分式——记忆

文章目录

  • 考点
    • 记忆/考点汇总——按大纲
  • 整体
    • 目录大纲法
    • 记忆宫殿法
    • 绘图记忆法
  • 局部
    • 数字编码法
    • 归类记忆法
    • 重点记忆法
    • 歌决记忆法
    • 谐音记忆法
    • 理解记忆法
    • 比较记忆法
    • 转图像记忆法
    • 可视化法

本篇思路:根据各方的资料,比如名师的资料,按大纲或者其他方式,收集/汇总考点,即需记忆点,在通过整体的记忆法,比如整体信息很多,通常使用记忆宫殿法,绘图记忆法进行记忆,针对局部/细节/组成的部分,可通过多种方法,比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料,作为收集考点/记忆点的信息输入:XX,收集汇总如下:

汇总考点的必要,或者说,汇总记忆的内容的必要,不言而喻,首先,你要记忆东西,得有东西,所以你要梳理出你需要记忆的全部东西,其次,在收集多个大佬的梳理的考点,又可以找出各条逻辑帮助记忆考点,所以,梳理考点是很有必要的,是记忆的基础,是记忆宫殿里面的物品,是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——整式——
六大公式
平方差公式 a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2-b^2=(a+b)(a-b) a2b2=(a+b)(ab)——【平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。】
完全平方 ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2 (a±b)2=a2±2ab+b2——【完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。】
配方公式 a 2 + b 2 + c 2 ± a b ± b c ± a c = 1 2 [ ( a ± b ) 2 + ( a ± c ) 2 ( b ± c ) 2 ] a^2+b^2+c^2±ab±bc±ac=\frac{1}{2}[(a±b)^2+(a±c)^2(b±c)^2] a2+b2+c2±ab±bc±ac=21[(a±b)2+(a±c)2(b±c)2]
立方和公式 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
立方差公式 a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
和与差的立方公式 a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ a b + b 2 ) a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2) a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)——【】

拓展:
三个数的完全平方 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac——【】

整式的除法:若 F ( x ) F(x) F(x)除以 f ( x ) f(x) f(x),商是 g ( x ) g(x) g(x),余式是 r ( x ) r(x) r(x),则有 F ( x ) = f ( x ) g ( x ) + r ( x ) F(x)=f(x)g(x)+r(x) F(x)=f(x)g(x)r(x),并且 r ( x ) r(x) r(x)的次数小于 f ( x ) f(x) f(x)的次数。
r ( x ) = 0 r(x)=0 r(x)=0时, F ( x ) = f ( x ) g ( x ) F(x)=f(x)g(x) F(x)=f(x)g(x),此时称 F ( x ) F(x) F(x)能被 f ( x ) f(x) f(x)整除(也能被 g ( x ) g(x) g(x)整除, f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x)都是 F ( x ) F(x) F(x)的因式)。
因式定理(整除) f ( x ) f(x) f(x)含有 ( x − a ) (x-a) (xa)因式 ⟺ ⟺ f ( x ) f(x) f(x)能被 ( x − a ) (x-a) (xa)整除 ⟺ ⟺ f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0——【理解记忆法:f(x)能被ax-b整除,意味着f(x)含有ax-b因式,即 f ( b a ) = 0 f(\frac{b}{a})=0 f(ab)=0——【因式定理是余式定理的一种特殊情况,即余式刚好为0】
x = a x=a x=a时, f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0 ⟺ ⟺ x − a x-a xa f ( x ) f(x) f(x)的一个因式 ⟺ ⟺ f ( x ) f(x) f(x)能被 x − a x-a xa整除。
余式定理(非整除):由于余式的次数要小于除式,所以当除式为一次表达式时,余式就为常数,从而得到余式定理:多项式 f ( x ) f(x) f(x)除以 x − a x-a xa,余式为 f ( a ) ,推论为: f(a),推论为: f(a),推论为:多项式 f ( x ) f(x) f(x)除以 a x − b ax-b axb的余式为 f ( b a ) f(\frac{b}{a}) f(ab)。此外,函数 f ( a ) f(a) f(a)的值代表 f ( x ) f(x) f(x)除以 x − a x-a xa的余式。
评注:可以理解为 f ( x ) f(x) f(x)除以 a x − b ax-b axb的余式为该点的函数值。因式定理可以看成余式定理的特殊情况。——【】
(1)若有 x = a x=a x=a使得 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0,则 F ( a ) = r ( a ) F(a)=r(a) F(a)=r(a),即当除式=0时,被除式=余式。
(2) F ( x ) F(x) F(x)除以 a x − b ax-b axb,当除式 a x − b = 0 ax-b=0 axb=0时,被除式等于余式,即 F ( b a ) = 余式 F(\frac{b}{a})=余式 F(ab)=余式
(3) F ( x ) F(x) F(x)除以 a x 2 + b x + c ax^2+bx+c ax2+bx+c,可令除式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0,解得两个根 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2,则有余式 R ( x 1 ) = F ( x 1 ) R(x_1)=F(x_1) R(x1)=F(x1) R ( x 2 ) = F ( x 2 ) R(x_2)=F(x_2) R(x2)=F(x2)

二项式定理:
( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + . . . + C n k a n − k b k + . . . + C n n − 1 a b n − 1 + C n n b n (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n (a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+...+Cnkankbk+...+Cnn1abn1+Cnnbn,其中第 k + 1 k+1 k+1项为 T k + 1 = C n k a n − k b k T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k Tk+1=Cnkankbk,称为通项。

——分式——
1.已知 x + 1 x = a x+\frac{1}{x}=a x+x1=a或者 x 2 + a x + 1 = 0 x^2+ax+1=0 x2+ax+1=0,求代数式的值
(1)求整式的值
①降次法
1)方程中降次:已知 x 2 + a x + 1 = 0 x^2+ax+1=0 x2+ax+1=0型,可化简,从而实现降次。
例:已知 a 2 − 3 a + 1 = 0 a^2-3a+1=0 a23a+1=0,则有 a 2 = 3 a − 1 , a 2 − 3 a = − 1 , a 2 + 1 = 3 a , a + 1 a = 3 a^2=3a-1,a^2-3a=-1,a^2+1=3a,a+\frac{1}{a}=3 a2=3a1a23a=1a2+1=3aa+a1=3
2)有理化降次:若已知一个无理数,可将所给无理数凑配成有理数,然后再进行降次。
例:已知 a = 2 + 1 a=\sqrt{2}+1 a=2 1,则 a − 2 = 2 − 1 a-2=\sqrt{2}-1 a2=2 1,根据平方差公式,可得 a ( a − 2 ) = 1 a(a-2)=1 a(a2)=1,则有 a 2 − 2 a = 1 , a 2 = 2 a + 1 , a 2 − 1 = 2 a , a − 1 a = 2 a^2-2a=1,a^2=2a+1,a^2-1=2a,a-\frac{1}{a}=2 a22a=1a2=2a+1a21=2aaa1=2
②整式的除法
若已知 x 2 + a x + 1 = 0 x^2+ax+1=0 x2+ax+1=0,则可用 f ( x ) f(x) f(x)除以是 x 2 + a x + 1 x^2+ax+1 x2+ax+1,如果所得余式为常数,则此常数为 f ( x ) f(x) f(x)的值。
(2)求分式的值
已知 x + 1 x = a x+\frac{1}{x}=a x+x1=a,求形如 x 3 + 1 x 3 x^3+\frac{1}{x^3} x3+x31 x 4 + 1 x 4 x^4+\frac{1}{x^4} x4+x41等分式的值。
解法:将已知条件平方升次,或者将未知分式因式分解降次,即可求解。
例: x + 1 x = 3 x+\frac{1}{x}=3 x+x1=3 ⟹ \Longrightarrow x 2 + 1 x 2 = 7 x^2+\frac{1}{x^2}=7 x2+x21=7 ⟹ \Longrightarrow x 3 + 1 x 3 = 18 x^3+\frac{1}{x^3}=18 x3+x31=18 ⟹ \Longrightarrow x 4 + 1 x 4 = 47 x^4+\frac{1}{x^4}=47 x4+x41=47 ⟹ \Longrightarrow x 5 + 1 x 5 = 123 x^5+\frac{1}{x^5}=123 x5+x51=123
x + 1 x = 3 x+\frac{1}{x}=3 x+x1=3 ⟹ \Longrightarrow x − 1 x = ± 5 x-\frac{1}{x}=±\sqrt{5} xx1=±5 x 2 + 1 x 2 = 7 x^2+\frac{1}{x^2}=7 x2+x21=7 ⟹ \Longrightarrow x + 1 x = ± 3 x+\frac{1}{x}=±3 x+x1=±3

2.关于 1 a + 1 b + 1 c = 0 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0 a1+b1+c1=0的问题
定理:若 1 a + 1 b + 1 c = 0 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0 a1+b1+c1=0,则 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 (a+b+c)2=a2+b2+c2
证明: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,由于 1 a + 1 b + 1 c = a b + a c + b c a b c = 0 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}=0 a1+b1+c1=abcab+ac+bc=0,故有 a b + a c + b c = 0 ab+ac+bc=0 ab+ac+bc=0,所以, ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 (a+b+c)2=a2+b2+c2

整体

整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆

目录大纲法

记忆宫殿法

绘图记忆法

局部

学习记忆——数学篇——汇总——顺口溜记忆法+谐音记忆法+理解记忆法+归类记忆法+重点记忆法+比较记忆法+转图像记忆法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点,就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系,我们可以按照它们的特性,恰当归类,使之条理化、系统化,组成一个便于记忆的知识网络。

整式运算:
五大核心公式:完全平方式、平方差公式、三个数和的平方、立方和差与和差立方、其他公式
or 六大公式:平方差公式、完全平方公式、三个数的完全平方公式、配方公式、立方和差公式、和差的立方公式

重点记忆法

抓住一个重点,去推导,去联想。

平方差→立方差
a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2-b^2=(a+b)(a-b) a2b2=(a+b)(ab)
a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a3b3=(ab)(a2+abb2)
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a3b3=(ab)(a2abb2)

完全平方(其实就是和差的平方)→和差的立方【效果感觉差强人意,但是差雀食是符号要特别注意】
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a+b)2=a2+2ab+b2
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (ab)2=a22ab+b2
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 (ab)3=a33a2b+3ab2b3

歌决记忆法

谐音记忆法

理解记忆法

比较记忆法

平方差公式你肯定记得,那就平方差关联上立方差

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转图像记忆法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法

可视化法

管理类联考——数学——可视化篇——代数即几何

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