管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——代数——整式分式——记忆

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——整式——
六大公式：
平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$——【平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。】
完全平方：$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$——【完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。】
配方公式：$a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc\pm ac=\frac{1}{2}[(a\pm b{)}^2+(a\pm c{)}^2(b\pm c{)}^2]$
立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
和与差的立方公式：$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$——【】

拓展：
三个数的完全平方：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$——【】

整式的除法：若$F(x)$除以$f(x)$，商是$g(x)$，余式是$r(x)$，则有$F(x)=f(x)g(x)＋r(x)$，并且$r(x)$的次数小于$f(x)$的次数。
当$r(x)=0$时，$F(x)=f(x)g(x)$，此时称$F(x)$能被$f(x)$整除(也能被$g(x)$整除，$f(x)$和$g(x)$都是$F(x)$的因式)。
因式定理（整除）：$f(x)$含有$(x-a)$因式$⟺$ $f(x)$能被$(x-a)$整除$⟺$ $f(a)=0$——【理解记忆法：f(x)能被ax-b整除，意味着f(x)含有ax-b因式，即$f(\frac{b}{a})=0$】——【因式定理是余式定理的一种特殊情况，即余式刚好为0】
当$x=a$时，$f(a)=0$ $⟺$ $x-a$是$f(x)$的一个因式 $⟺$ $f(x)$能被$x-a$整除。
余式定理（非整除）：由于余式的次数要小于除式，所以当除式为一次表达式时，余式就为常数，从而得到余式定理：多项式$f(x)$除以$x-a$，余式为$f(a)，推论为：$多项式$f(x)$除以$ax-b$的余式为$f(\frac{b}{a})$。此外，函数$f(a)$的值代表$f(x)$除以$x-a$的余式。
评注：可以理解为$f(x)$除以$ax-b$的余式为该点的函数值。因式定理可以看成余式定理的特殊情况。——【】
（1）若有$x=a$使得$f(a)=0$，则$F(a)=r(a)$，即当除式=0时，被除式=余式。
（2）$F(x)$除以$ax-b$，当除式$ax-b=0$时，被除式等于余式，即$F(\frac{b}{a})=余式$。
（3）$F(x)$除以$a{x}^2+bx+c$，可令除式$a{x}^2+bx+c=0$，解得两个根$x_1,x_2$，则有余式$R(x_1)=F(x_1)$，$R(x_2)=F(x_2)$。

二项式定理：
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$，其中第$k+1$项为$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，称为通项。

——分式——
1.已知$x+\frac{1}{x}=a$或者$x^2+ax+1=0$，求代数式的值
（1）求整式的值
①降次法
1）方程中降次：已知$x^2+ax+1=0$型，可化简，从而实现降次。
例：已知$a^2-3a+1=0$，则有$a^2=3a-1，a^2-3a=-1，a^2+1=3a，a+\frac{1}{a}=3$
2）有理化降次：若已知一个无理数，可将所给无理数凑配成有理数，然后再进行降次。
例：已知$a=\sqrt{2}＋1$，则$a-2=\sqrt{2}-1$，根据平方差公式，可得$a(a-2)=1$，则有$a^2-2a=1，a^2=2a+1，a^2-1=2a，a-\frac{1}{a}=2$
②整式的除法
若已知$x^2+ax+1=0$，则可用$f(x)$除以是$x^2+ax+1$，如果所得余式为常数，则此常数为$f(x)$的值。
（2）求分式的值
已知$x+\frac{1}{x}=a$，求形如$x^3+\frac{1}{x^3}$，$x^4+\frac{1}{x^4}$等分式的值。
解法：将已知条件平方升次，或者将未知分式因式分解降次，即可求解。
例：$x+\frac{1}{x}=3$ $⟹$ $x^2+\frac{1}{x^2}=7$ $⟹$ $x^3+\frac{1}{x^3}=18$ $⟹$ $x^4+\frac{1}{x^4}=47$ $⟹$ $x^5+\frac{1}{x^5}=123$；
$x+\frac{1}{x}=3$ $⟹$ $x-\frac{1}{x}=\pm \sqrt{5}$；$x^2+\frac{1}{x^2}=7$ $⟹$ $x+\frac{1}{x}=\pm 3$。

2.关于$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$的问题
定理：若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$，则$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2$
证明：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，由于$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}=0$，故有$ab+ac+bc=0$，所以，$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2$。

整体

整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆

目录大纲法

记忆宫殿法

绘图记忆法

局部

学习记忆——数学篇——汇总——顺口溜记忆法+谐音记忆法+理解记忆法+归类记忆法+重点记忆法+比较记忆法+转图像记忆法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。

整式运算：
五大核心公式：完全平方式、平方差公式、三个数和的平方、立方和差与和差立方、其他公式
or 六大公式：平方差公式、完全平方公式、三个数的完全平方公式、配方公式、立方和差公式、和差的立方公式

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

平方差→立方差
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
→$a^3－b^3=(a－b)(a^2+ab＋b^2)$
→$a^3＋b^3=(a＋b)(a^2－ab＋b^2)$

完全平方（其实就是和差的平方）→和差的立方【效果感觉差强人意，但是差雀食是符号要特别注意】
$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
→$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
→$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

歌决记忆法

谐音记忆法

理解记忆法

比较记忆法

平方差公式你肯定记得，那就平方差关联上立方差

转图像记忆法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法

可视化法

管理类联考——数学——可视化篇——代数即几何