辛几何

What？

辛几何是华罗庚对symplectic geometry的翻译。

symplectic geometry是大数学家Herman Weyl命名的，他在研究复形群时觉得用complex group会让读者误把其中的complex当成complex number的complex。为了避免这种尴尬，他提议是使用希腊语形容词symplectic替代。

Leonard Eugene Dickson称symplectic group为阿贝尔线形群(Abelian linear group)，以纪念第一个对该群研究的阿贝尔。

辛几何

在经典力学和理论物理研究中，哈密顿力学地位十分重要。哈密顿力学所刻画的随时间变化的物理过程可以等价位相空间的几何变换。

相空间也是一种坐标系。常规坐标系有坐标系，而相空间在常规坐标系轴基础上在增加坐标轴(或动量轴)。质点在初始时刻的位置和速度就对应相空间中一个广义的“点”。

所有感兴趣的“点”在相空间里组成一个高维块体(常规是三维块体，二维区域)。随着时间变化，这个块体会像面团一样变化，所以就文绉绉把这个块体叫流形(manifold)。

上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外尔描述的symplectic的，就叫做symplectic manifold，中文就翻译为辛流形。辛流形像面团一样被揉来揉去就叫辛拓扑symplectic topology，而syplectic group就叫辛群。

Appendix

symplectic在经典力学和理论物理研究中流行是因为对保守系统(没有耗散)，辛流形的广义体积不随时间变化。

很多时候，被研究的微分方程太复杂，以至于寻找闭合的解析解已不可能。此时，需要借助于计算机求数值解，需要把微分方程近似为代数方程的迭代。

近似方法在每一个迭代步内有误差，所造成的误差还可能会在下一步迭代中被放大。或者换个名词，这相当于计算带来了虚假的计算阻尼。如果这种阻尼是“正”的还好，误差不会累积暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“负”的，那么近似计算出来的系统能量会越来越大，计算结果就会发散(这时根本谈不上精度了)。

如果在构造近似格式时，首先约束格式要保证辛流形的体积不随迭代而变化，那么计算出来的“系统能量”就不会无限增大。不管精度如何，这至少数值结果不会发散了！

保守系统运用的广泛性和计算机分析的流行性，所以对能保正辛流形体积不变的迭代格式就特别受到计算科学家的重视。也因此，中文就把“保正辛流形体积不变的迭代格式”简称“保辛格式”，对应的英文术语是symplectic integrator。在构造算法时，会用上辛矩阵(symplectic matrix)和辛变换(symplectic)等概念。

对微观世界(理论物理)和日月星辰(天文学) , 几乎都不强调能量损耗(或认为就根本不存在)，而且其运行的时间尺度很大，所以若不用保辛格式，则很难得到长时间的行为。但是就很多工程问题，对耗散和摩擦都不能掩耳盗铃，所以辛算法是否还那么霸气呢？

最后再补一句，除了辛几何，英语中symplectic还是使用的，即symplectic bone（是“续骨”，不是“辛骨”！）。学习脊椎动物进化的时候要碰到。