二叉树：顾名思义就是每个节点都只能有两个子节点的树结构
class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
}
二分搜索树
- 二分搜索树也是二叉树
- 二分搜索树的每个节点的值:
- 大于其左子树的所有节点的值
- 小于其右子树的所有节点的值
- 每一棵子树也是二分搜索树
- 存储的元素必须有可比性
image
创建二分搜索树
public class BST> {
private class Node {
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST(){
root = null;
size = 0;
}
public int size(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
}
添加元素
向以node为根的二叉树中添加元素, 如果比node中的元素小,就去node的左子树中去比较
// 向二分搜索树中添加新的元素e
public void add(E e) {
root = add(root, e);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}
if (e.compareTo(node.e) < 0)
node.left = add(node.left, e);
else if (e.compareTo(node.e) > 0)
node.right = add(node.right, e);
return node;
}
查询元素
// 看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
return contains(root, e);
}
// 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
private boolean contains(Node node, E e) {
if (node == null)
return false;
if (e.compareTo(node.e) == 0)
return true;
else if (e.compareTo(node.e) < 0)
return contains(node.left, e);
else // e.compareTo(node.e) > 0
return contains(node.right, e);
}
二分搜索树的递归遍历
先序遍历
根节点在前就是先序遍历
// 二分搜索树的前序遍历
public void preOrder(){
preOrder(root);
}
// 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void preOrder(Node node){
if(node == null)
return;
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
@Override
public String toString(){
StringBuilder res = new StringBuilder();
generateBSTString(root, 0, res);
return res.toString();
}
// 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){
if(node == null){
res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
return;
}
res.append(generateDepthString(depth) + node.e + "\n");
generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
}
private String generateDepthString(int depth){
StringBuilder res = new StringBuilder();
for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
res.append("--");
return res.toString();
}
中序遍历
// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
// 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void inOrder(Node node) {
if (node == null)
return;
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
后序遍历
// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
// 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void postOrder(Node node) {
if (node == null)
return;
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}
遍历的非递归实现
借助栈的功能来实现非递归遍历
前序遍历
先将根节点压入栈
1.若栈非空输出根节点，并出栈
2.将右节点压栈（如果存在）
3.将左节点压栈（如果存在）
4.重复第1步直到栈空
// 二分搜索树的非递归前序遍历
public List preOrderNR(){
List es = new ArrayList<>();
if(root == null)
return es;
Stack stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()){
Node cur = stack.pop();
es.add(cur.e);
if(cur.right != null)
stack.push(cur.right);
if(cur.left != null)
stack.push(cur.left);
}
return es;
}
中序遍历
栈的中序遍历需要套两层循环，由于需要先输出左节点，因此必须向下查找直到左节点为空才能输出。处理逻辑如下：
1、如果栈顶元素非空且左节点存在，将其入栈，重复该过程。若不存在则进入第2步
2、若栈非空，输出栈顶元素并出栈。判断刚出栈的元素的右节点是否存在，不存在重复第2步，存在则将右节点入栈，跳至第1步
// 二分搜索树的非递归中序遍历
public List inOrderNR(){
List es = new ArrayList<>();
if(root == null)
return es;
Stack stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()) {
while (stack.peek().left != null) {
stack.push(stack.peek().left);
}
while (!stack.empty()) {
Node cur = stack.pop();
es.add(cur.e);
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
break;
}
}
}
return es;
}
public class Main {
public static void main(String[] args) {
BST bst = new BST<>();
int[] nums = {20, 10, 25, 5, 15, 23, 27, 7, 22, 24, 6, 8, 9};
for(int num: nums)
bst.add(num);
//bst.preOrder();
//System.out.println(bst.preOrderNR());
//bst.inOrder();
System.out.println(bst.inOrderNR());
}
}
[5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 22, 23, 24, 25, 27]
后序遍历
后序遍历在中序的双层循环的基础上需要加入一个记录，专门记录上一次出栈的节点。步骤如下：
1、如果栈顶元素非空且左节点存在，将其入栈，重复该过程。若不存在则进入第2步（该过程和中序遍历一致）
2、判断上一次出栈节点是否当前节点的右节点，或者当前节点是否存在右节点，满足任一条件，将当前节点输出，并出栈。否则将右节点压栈。跳至第1步
public List postOrderNR(){
LinkedList es = new LinkedList<>();
Stack stack = new Stack<>();
if (root == null) return es;
stack.push(root);
Node lastpop = null;
while (!stack.isEmpty()){
while(stack.peek().left != null){
stack.push(stack.peek().left);
}
// 当前节点没有左子树, 看其右子树是否存在或者是否是上次访问过的节点
while (!stack.isEmpty()){
if (lastpop == stack.peek().right || stack.peek().right == null){
Node cur = stack.pop();
es.add(cur.e);
lastpop = cur;
}
else if(stack.peek().right != null){
stack.push(stack.peek().right);
break;
}
}
}
return es;
}
[6, 9, 8, 7, 5, 15, 10, 22, 24, 23, 27, 25, 20]
根据后序遍历的特性: 左 右 中, 先将根节点入栈,
1.将根节点出栈, 放在链表的头部
2.出栈的节点有左节点将左节点入栈
3.出栈的节点有右节点将右节点入栈
4.栈不为空,重复1~3
public List postOrderNR() {
LinkedList ans = new LinkedList<>();
Stack stack = new Stack<>();
if (root == null) return ans;
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node cur = stack.pop();
ans.addFirst(cur.e);
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
}
return ans;
}
[6, 9, 8, 7, 5, 15, 10, 22, 24, 23, 27, 25, 20]
层序遍历
借助队列先进先出的特性, 可以很轻松的实现树的层序遍历
// 二分搜索树的层序遍历
public List levelOrder() {
Queue q = new LinkedList<>();
ArrayList es = new ArrayList<>();
if (root == null)
return es;
q.add(root);
while (!q.isEmpty()) {
Node cur = q.remove();
es.add(cur.e);
if (cur.left != null)
q.add(cur.left);
if (cur.right != null)
q.add(cur.right);
}
return es;
}
[20, 10, 25, 5, 15, 23, 27, 7, 22, 24, 6, 8, 9]
public List> levelOrder() {
List> res = new ArrayList<>();
Deque queue = new LinkedList<>();
if (root == null)
return res;
queue.addFirst(root);
while (!queue.isEmpty()) {
List list = new ArrayList<>();
int n = queue.size();
for (int i = 0; i < n; i++) {
Node t = queue.removeLast();
list.add(t.e);
if (t.left != null)
queue.addFirst(t.left);
if (t.right != null)
queue.addFirst(t.right);
}
if (!list.isEmpty())
res.add(list);
}
return res;
}
[[20], [10, 25], [5, 15, 23, 27], [7, 22, 24], [6, 8], [9]]
最大值和最小值
根据二分搜索树的特性, 很容易知道沿着根节点往左走是最小值, 往右走是最大值
// 寻找二分搜索树的最小元素
public E minimum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
Node minNode = minimum(root);
return minNode.e;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if( node.left == null )
return node;
return minimum(node.left);
}
// 寻找二分搜索树的最大元素
public E maximum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
return maximum(root).e;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
private Node maximum(Node node){
if( node.right == null )
return node;
return maximum(node.right);
}
删除最大值,最小值
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node){
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
删除任意节点
/*二叉树节点的删除
*先找到要删除节点所在的位置，判断左右子树的情况
*如果左右子树都不存在，将其直接删除
*如果存在单一子树，修改指针后将其删除即可
*如果左、右子树都存在，则将其左子树的最大值复制为将删除的节点，并将最大值删除即可
*右子树的最小值也可以
*/
// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e) {
root = remove(root, e);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, E e) {
if (node == null)
return null;
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = remove(node.left, e);
return node;
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = remove(node.right, e);
return node;
} else { // e.compareTo(node.e) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
完整代码