乘法器:如何像搭乐高一样搭电路(下)?

目录

背景

顺序乘法的实现过程

并行加速方法

电路并行

小结


背景

和学习小学数学一样,学完了加法之后,我们自然而然就要来学习乘法。既然是退回到小学,我们就把问题搞得简单一点,先来看两个 4 位数的乘法。这里的 4 位数,当然还是一个二进制数。我们是人类而不是电路,自然还是用列竖式的方式来进行计算。

十进制中的 13 乘以 9,计算的结果应该是 117。我们通过转换成二进制,然后列竖式的办法,来看看整个计算的过程是怎样的。

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顺序乘法的实现过程

从列出竖式的过程中,你会发现,二进制的乘法有个很大的优点,就是这个过程你不需要背九九乘法口诀表了。因为单个位置上,乘数只能是 0 或者 1,所以实际的乘法,就退化成了位移和加法。

在 13×9 这个例子里面,被乘数 13 表示成二进制是 1101,乘数 9 在二进制里面是 1001。最右边的个位是 1,所以个位乘以被乘数,就是把被乘数 1101 复制下来。因为二位和四位都是 0,所以乘以被乘数都是 0,那么保留下来的都是 0000。乘数的八位是 1,我们仍然需要把被乘数 1101 复制下来。不过这里和个位位置的单纯复制有一点小小的差别,那就是要把复制好的结果向左侧移三位,然后把四位单独进行乘法加位移的结果,再加起来,我们就得到了最终的计算结果。

对应到我们之前讲的数字电路和 ALU,你可以看到,最后一步的加法,我们可以用上一讲的加法器来实现。乘法因为只有“0”和“1”两种情况,所以可以做成输入输出都是 4 个开关,中间用 1 个开关,同时来控制这 8 个开关的方式,这就实现了二进制下的单位的乘法。

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我们可以用一个开关来决定,下面的输出是完全复制输入,还是将输出全部设置为 0

至于位移也不麻烦,我们只要不是直接连线,把正对着的开关之间进行接通,而是斜着错开位置去接就好了。如果要左移一位,就错开一位接线;如果要左移两位,就错开两位接线。

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把对应的线路错位连接,就可以起到位移的作用

这样,你会发现,我们并不需要引入任何新的、更复杂的电路,仍然用最基础的电路,只要用不同的接线方式,就能够实现一个“列竖式”的乘法。而且,因为二进制下,只有 0 和 1,也就是开关的开和闭这两种情况,所以我们的计算机也不需要去“背诵”九九乘法口诀表,不需要单独实现一个更复杂的电路,就能够实现乘法。

为了节约一点开关,也就是晶体管的数量。实际上,像 13×9 这样两个四位数的乘法,我们不需要把四次单位乘法的结果,用四组独立的开关单独都记录下来,然后再把这四个数加起来。因为这样做,需要很多组开关,如果我们计算一个 32 位的整数乘法,就要 32 组开关,太浪费晶体管了。如果我们顺序地来计算,只需要一组开关就好了。

我们先拿乘数最右侧的个位乘以被乘数,然后把结果写入用来存放计算结果的开关里面,然后,把被乘数左移一位,把乘数右移一位,仍然用乘数去乘以被乘数,然后把结果加到刚才的结果上。反复重复这一步骤,直到不能再左移和右移位置。这样,乘数和被乘数就像两列相向而驶的列车,仅仅需要简单的加法器、一个可以左移一位的电路和一个右移一位的电路,就能完成整个乘法。

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你看这里画的乘法器硬件结构示意图。这里的控制测试,其实就是通过一个时钟信号,来控制左移、右移以及重新计算乘法和加法的时机。我们还是以计算 13×9,也就是二进制的 1101×1001 来具体看。

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这个计算方式虽然节约电路了,但是也有一个很大的缺点,那就是慢。

你应该很容易就能发现,在这个乘法器的实现过程里,我们其实就是把乘法展开,变成了“加法 + 位移”来实现。我们用的是 4 位数,所以要进行 4 组“位移 + 加法”的操作。而且这 4 组操作还不能同时进行。因为下一组的加法要依赖上一组的加法后的计算结果,下一组的位移也要依赖上一组的位移的结果。这样,整个算法是“顺序”的,每一组加法或者位移的运算都需要一定的时间

所以,最终这个乘法的计算速度,其实和我们要计算的数的位数有关。比如,这里的 4 位,就需要 4 次加法。而我们的现代 CPU 常常要用 32 位或者是 64 位来表示整数,那么对应就需要 32 次或者 64 次加法。比起 4 位数,要多花上 8 倍乃至 16 倍的时间。

换个我们在算法和数据结构中的术语来说就是,这样的一个顺序乘法器硬件进行计算的时间复杂度是 O(N)。这里的 N,就是乘法的数里面的位数

并行加速方法

那么,我们有没有办法,把时间复杂度上降下来呢?研究数据结构和算法的时候,我们总是希望能够把 O(N) 的时间复杂度,降低到 O(logN)。办法还真的有。和软件开发里面改算法一样,在涉及 CPU 和电路的时候,我们可以改电路。

32 位数虽然是 32 次加法,但是我们可以让很多加法同时进行。回到这一讲开始,我们把位移和乘法的计算结果加到中间结果里的方法,32 位整数的乘法,其实就变成了 32 个整数相加。

前面顺序乘法器硬件的实现办法,就好像体育比赛里面的单败淘汰赛。只有一个擂台会存下最新的计算结果。每一场新的比赛就来一个新的选手,实现一次加法,实现完了剩下的还是原来那个守擂的,直到其余 31 个选手都上来比过一场。如果一场比赛需要一天,那么一共要比 31 场,也就是 31 天。

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加速的办法,就是把比赛变成像世界杯足球赛那样的淘汰赛,32 个球队捉对厮杀,同时开赛。这样一天一下子就淘汰了 16 支队,也就是说,32 个数两两相加后,你可以得到 16 个结果。后面的比赛也是一样同时开赛捉对厮杀。只需要 5 天,也就是 O(log2N) 的时间,就能得到计算的结果。但是这种方式要求我们得有 16 个球场。因为在淘汰赛的第一轮,我们需要 16 场比赛同时进行。对应到我们 CPU 的硬件上,就是需要更多的晶体管开关,来放下中间计算结果。

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电路并行

上面我们说的并行加速的办法,看起来还是有点儿笨。我们回头来做一个抽象的思考。之所以我们的计算会慢,核心原因其实是“顺序”计算,也就是说,要等前面的计算结果完成之后,我们才能得到后面的计算结果。

最典型的例子就是我们上一讲讲的加法器。每一个全加器,都要等待上一个全加器,把对应的进入输入结果算出来,才能算下一位的输出。位数越多,越往高位走,等待前面的步骤就越多,这个等待的时间有个专门的名词,叫作门延迟(Gate Delay)。

每通过一个门电路,我们就要等待门电路的计算结果,就是一层的门电路延迟,我们一般给它取一个“T”作为符号。一个全加器,其实就已经有了 3T 的延迟(进位需要经过 3 个门电路)。而 4 位整数,最高位的计算需要等待前面三个全加器的进位结果,也就是要等 9T 的延迟。如果是 64 位整数,那就要变成 63×3=189T 的延迟。这可不是个小数字啊!

除了门延迟之外,还有一个问题就是时钟频率。在上面的顺序乘法计算里面,如果我们想要用更少的电路,计算的中间结果需要保存在寄存器里面,然后等待下一个时钟周期的到来,控制测试信号才能进行下一次移位和加法,这个延迟比上面的门延迟更可观。

那么,我们有什么办法可以解决这个问题呢?实际上,在我们进行加法的时候,如果相加的两个数是确定的,那高位是否会进位其实也是确定的。对于我们人来说,我们本身去做计算都是顺序执行的,所以要一步一步计算进位。但是,计算机是连结的各种线路。我们不用让计算机模拟人脑的思考方式,来连结线路。

那怎么才能把线路连结得复杂一点,让高位和低位的计算同时出结果呢?怎样才能让高位不需要等待低位的进位结果,而是把低位的所有输入信号都放进来,直接计算出高位的计算结果和进位结果呢?

我们只要把进位部分的电路完全展开就好了。我们的半加器到全加器,再到加法器,都是用最基础的门电路组合而成的。门电路的计算逻辑,可以像我们做数学里面的多项式乘法一样完全展开。在展开之后呢,我们可以把原来需要较少的,但是有较多层前后计算依赖关系的门电路,展开成需要较多的,但是依赖关系更少的门电路。

我在这里画了一个示意图,展示了一下我们加法器。如果我们完全展开电路,高位的进位和计算结果,可以和低位的计算结果同时获得。这个的核心原因是电路是天然并行的,一个输入信号,可以同时传播到所有接通的线路当中。

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如果一个 4 位整数最高位是否进位,展开门电路图,你会发现,我们只需要 3T 的延迟就可以拿到是否进位的计算结果。而对于 64 位的整数,也不会增加门延迟,只是从上往下复制这个电路,接入更多的信号而已。看到没?我们通过把电路变复杂,就解决了延迟的问题。

这个优化,本质上是利用了电路天然的并行性。电路只要接通,输入的信号自动传播到了所有接通的线路里面,这其实也是硬件和软件最大的不同。

无论是这里把对应的门电路逻辑进行完全展开以减少门延迟,还是上面的乘法通过并行计算多个位的乘法,都是把我们完成一个计算的电路变复杂了。而电路变复杂了,也就意味着晶体管变多了。

之前很多同学在我们讨论计算机的性能问题的时候,都提到,为什么晶体管的数量增加可以优化计算机的计算性能。实际上,这里的门电路展开和上面的并行计算乘法都是很好的例子。我们通过更多的晶体管,就可以拿到更低的门延迟,以及用更少的时钟周期完成一个计算指令。

小结

讲到这里,相信你已经发现,我们通过之前两讲的 ALU 和门电路,搭建出来了乘法器。如果愿意的话,我们可以把很多在生活中不得不顺序执行的事情,通过简单地连结一下线路,就变成并行执行了。这是因为,硬件电路有一个很大的特点,那就是信号都是实时传输的。

我们也看到了,通过精巧地设计电路,用较少的门电路和寄存器,就能够计算完成乘法这样相对复杂的运算。是用更少更简单的电路,但是需要更长的门延迟和时钟周期;还是用更复杂的电路,但是更短的门延迟和时钟周期来计算一个复杂的指令,这之间的权衡,其实就是计算机体系结构中 RISC 和 CISC 的经典历史路线之争。

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