二叉树（9.7）

目录

1.树概念及结构

1.1树的概念

 1.2 树的相关概念

1.3 树的表示

2.二叉树概念及结构

2.1概念

2.2 特殊的二叉树

2.4 二叉树的存储结构

3.二叉树顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

3.2 堆的概念及结构 

1.树概念及结构

1.1树的概念

前面我们学习的都是组成简单的结构，它们存在一些优缺点。

例如：顺序表，它的本质是数组

链表

我们容易发现顺序表和链表本质上是互补的数据结构。

数组可以看作数据结构的一种基础，在它之上进行各种“加工”能够产生多种复杂的数据结构。

 上面提到的是简单的结构线性表，下面我们将认识更为复杂的结构，二叉树，多叉树。

为什么叫树，因为它的结构倒过来的形状像一棵树。

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合， 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点

除根节点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继

因此， 树是 递归定义 的。

 为什么称树是递归定义的？

因为递归定义是将大问题一步一步化成类似的小问题最后解决并逐步返回的，而树也能拆成若干个子树，最终拆到叶节点就不能再拆了。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 

 1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的度为6

叶节点或终端节点 ： 度为0的节点 称为叶节点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

非终端节点或分支节点 ： 度不为0 的节点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B 是 A 的孩子节点

（亲）兄弟节点 ： 具有相同父节点 的节点互称为（亲）兄弟节点； 如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中， 最大的节点的度 称为树的度； 如上图：树的度为 6

节点的层次 ：从根开始定义起， 根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推 ；

树的高度或深度 ： 树中节点的最大层次 ； 如上图：树的高度为 4

堂兄弟节点 ： 双亲在同一层(非同一个） 的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙 ：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林 ：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树的存储方式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

孩子表示法：

 兄弟孩子表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

如果想要找到一个节点的所有孩节点

先通过A节点的第一个孩子指针找到它的第一个孩节点，再通过这个孩节点的下一个兄弟指针找到下一个兄弟，重复找兄弟的过程，直到找不到兄弟（下一个兄弟指针为空），A的下一个兄弟指针也为空。

双亲表示法：

设下标 -1 代表没有父亲节点

两个节点在不在同一棵树，如何判断？

找根，根相同则在同一棵树。

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点，最多两个孩子，也可以是一个或零个。

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 特殊的二叉树

 1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

高度为 h 的满二叉树有 F(h)=2^h-1 个节点。

相反，假设一颗满二叉树的节点数为N个，那么 N=2^h-1，它就有 h=log2(N+1)层。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（假设它的高度为 h，前 h-1 层是满的，最后一层不一定满，但从左到右是连续的）

假设完全二叉树的高度为 h ，它的节点数范围是

[2^(h-1)，2^h -1]（最少情况为 h-1 层多一个节点，最多为满二叉树）

2.4 二叉树的存储结构

将二叉树以数组的方式一层一层的存在数组中

对满二叉树，完全二叉树适合 | 对非满二叉树：不适合用数组存储

3.二叉树顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构 

堆在内存中的区域划分：

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值：

小堆：树中的任意一个父亲都<=孩子

大堆：树中的任意一个父亲都>=孩子

堆总是一棵完全二叉树 。

例：

画出 A 选项的堆图，答案显而易见。

底层：堆的物理（存储）结构上是数组，逻辑结构（想象出来的）上是完全二叉树。

大小堆的应用：