Chapter02-整数的运算

1.无符号数的加法运算

下面两个无符号数相加我们希望得到的结果是256，但是实际的运行结果却是0。原因是：a+b的和已经超过了unsigned char类型所能表示的最大值255，我们称这个情况为溢出。
```
unsigned char a = 255;
unsigned char b = 1;

unsigned char c = a + b;
printf("c=%d\n", c)
```

无符号数表示范围.jpg

2.无符号数的加法溢出

对于操作数x和y，两者的取值范围都是大于等于0，小于2的w次方。对于两者相加的和，如果小于2的w次方，那么程序执行的结果与实际情况一致；如果大于或等于2的w次方，此时就会发生溢出。

无符号数的溢出.jpg

变量a和变量b的二进制表示如下图所示，为了使得运算结果的数据位数保持w位不变，最高位的1会被丢弃。因此，得到的结果相当于减去2的w次方。在C语言执行的过程中，对于溢出的情况并不会报错。

数据溢出原理.jpg

3.如何判断无符号数的数据溢出

由于下面函数的两个形参x和y都是大于等于0的，因此两者之和一定大于等于其中的任意一个数。于是，可以使用下面的代码来判断是否发生了溢出。如果返回值为1，表示运算结果正常；如果返回值为0，则表示发生了溢出。
```
int uadd_ok(unsigned x, unsigned y) {
    unsigned sum = x + y;
    if(sum >= x)
        return 1;
    else
        return 0;  // 发生了数据溢出
}
```
上述判断条件的正确性：由于x和y都是非负数，x+y的和一定是大于或等于其中的一个数。当发生溢出时，x+y的运行结果等于x加y减去2的w次方。根据y的取值范围可知，y的取值是小于2的w次方。因此，y减去2的w次方是小于0。最终，非负数x加上一个小于0的数后，结果一定是小于x的。由此可以证明，当发生数据溢出时，得到的和小于其中任意一个数(x或者y)。

4.有符号数的加法运算

有符号数x和y的取值范围如下图所示，对于补码的加法运算，需要引入一个符号t来表示补码。想要准确的表示有符号数相加的结果，需要w+1位。为了避免数据大小的扩张，最终结果将截断成w位来表示。有符号数的溢出分为正溢出和负溢出，当x+y的和大于等于2的w-1次方时，发生正溢出。此时，得到的结果会减去2的w次方；当x加y的和小于负的2的w-1次方时，发生负溢出。此时，得到的结果要加上2的w次方。

有符号数的溢出.jpg

下面的代码表示两个有符号数相加的结果，我们期望的结果是128而实际的结果却是-128。

char x = 127;
char y = 1;

char z = x + y;
printf("z=%d\n", z);  // -128，发生了正溢出


char x = -128;
char y = -1;

char z = x + y;
printf("z=%d\n", z);  // 127，发生了负溢出

正溢出.jpg

负溢出.jpg

5.如何判断有符号数的数据溢出

判断条件：当两个正数相加，得到的结果为负，则说明发生了正溢出；当两个负数相加，得到的结果为正，则说明发生了负溢出。

有符号数加法运算数据溢出判断.jpg

6.无符号数的乘法运算

对于w位的无符号数x和y，具体表示如下图所示。两者的乘积可能需要2w位表示。在C语言中，定义了无符号数乘法所产生的结果是w位。因此，运行结果会截取2w中的低w位。因此，运行结果等于x与y的乘积并对2的w次方取模。

无符号数的乘法运算.jpg

7.有符号数的乘法运算

对于w位的有符号数x和y，具体表示如下图所示。两者的乘积可能需要2w位表示。在C语言中，定义了有符号数乘法所产生的结果是w位。因此，运行结果会截取2w中的低w位。因此，运行结果等于x与y的乘积并对2的w次方取模，然后将无符号数转换成有符号数。

有符号数的乘法运算.jpg

由于乘法指令的执行需要多个时钟周期，很多C语言的编译器试图使用移位和加法、减法来代替整数乘法的操作。对整数的除法运算使用的右移运算，无符号数采用的是逻辑右移，而有符号数采用的是算术右移。

整数乘以2的幂转换为左移操作.jpg

整数的乘法转换为左移和加减法运算.jpg

整数的除法可能遇到除不尽的情况，结果总是会朝着向0的方向进行舍入。对于x大于等于0且y大于0的情况，结果总会是向下舍入；当x小于0且y大于0时，结果将向上舍入。

整数的取整运算.jpg

8.参考资料

[1].本文图片来源，侵权必删:https://www.bilibili.com/video/BV13Z4y1V734/?spm_id_from=333.788&vd_source=9e048d0319d701d15b8120b9c8b97d2e