MIT_线性代数笔记：第 05 讲 转置、置换和空间

本节的将引入向量空间（vector spaces）和子空间（subspaces）。

置换

当应用消元法求解方程组的时候我们需要通过行交换将 0 从主元位置移走。左乘一个置换阵可以实现行交换的操作。
因此我们的 LU 分解由 A=LU 变为 PA=LU。其中的 P 就是对 A 的行向量进行重新排序的置换矩阵。置换矩阵 P 是通过对单位阵进行“行交换”得到的。对于 n x n 矩阵存在着 n！个置换矩阵。置换矩阵具有特殊性质 $P^{-1}$=$P^T$ 即$P^T$$P$=I。

转置

向量空间

我们可以对向量进行所谓“线性运算”，即通过加和（v+w）与数乘运算（3v）得到向量的线性组合。向量空间对线性运算封闭，即空间内向量进行线性运算得到的向量仍在空间之内。
$R^2$即为向量空间，它是具有两个实数分量的所有向量（二维实向量）的集合。空间 $R^2$的图像为整个 x-y 平面
所有向量空间必然包含零向量，因为任何向量数乘 0 或者加上反向量都会得到零向量，而因为向量空间对线性运算封闭，所以零向量必属于向量空间。
$R^3$是向量空间，它是具有三个实数分量的所有向量的集合。
$R^n$是向量空间，它是具有 n 个实数分量的所有向量的集合。

子空间

包含于向量空间之内的一个向量空间称为原向量空间的一个子空间。例如用实数 c 数乘 $R^2$空间中向量 v 所得到的向量集合就是 $R^2$空间的一个子空间，其图像为二维平面上穿过原点的一条直线，它对于线性运算封闭。

R2的子空间包括：
• R2空间本身
• 过原点的一条直线（这是 R2空间中的一条直线，与 R1空间有区别）
• 原点 仅包含 0 向量 Z

R3的子空间包括：
• R3空间本身 3 维
• 过原点的一个平面 2 维
• 过原点的一条直线 1 维
• 原点 仅包含 0 向量 Z

列空间