二分图（概念、相关算法和题目应用）(全面整理)
TP
- 二分图的概念：
- 二分图常用算法：
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- 染色法（判断一个图是否为二分图）：
- 匈牙利算法（求出二分图的最大匹配数）：
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- 相应题目应用：
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- 二分图 染色 应用：
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- Acwing：关押罪犯
- 二分图最大匹配应用：
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- Acwing：棋盘覆盖
- 洛谷：矩阵游戏
- 二分图最大匹配的一些推论：
- 二分图最小点覆盖应用：
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- Acwing：机械任务
- Acwing：泥地
- 二分图最大独立集应用：
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- Acwing：骑士放置
- 二分图 最大路径点覆盖 与 最大路径重复点覆盖 应用：
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- Acwing：捉迷藏
二分图的概念：
二分图通常针对 无向图 问题（有些题目虽然是有向图，但一样有二分图性质）
在一张图中，如果能够把全部的点分到 两个集合 中，保证两个集合内部没有 任何边 ，图中的边 只存在于两个集合之间，这张图就是二分图
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二分图常用算法：
染色法（判断一个图是否为二分图）：
算法原理就是，用 黑 与 白 这两种颜色对图中点染色（相当于给点归属一个集合），一个点显然不能同时具有两种颜色，若有，此图就不是二分图
代码：
bool dfs(int u, int c) {
color[u] = c;//当前点先染色
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];//对于这个点连接的所有的点
if (color[j]) {//如果已经被染过色了
if (color[j] == c)return false;
//就需要判断一下，如果两点颜色一样，染色就冲突了
}
else if (!dfs(j, 3 - c))return false;
//否则dfs去染下一个结点，赋予的颜色肯定要跟 c 不一样
//3 - 1 == 2，3 - 2 == 1
//同时传回染色成功与否的信息
}
return true;
}
bool check() {
memset(color, 0, sizeof color);//0 —— 未染色，1 —— 黑色，2 —— 白色
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (color[i] == 0)//一旦某个点没染过色，dfs去染色
if (!dfs(i, 1))return false;//如果传回false显然失败，此图不是二分图
return true;
//否则true
}
遍历了这张图的点和边，时间复杂度 O ( n + ｍ ) O(n + ｍ) O(n+ｍ)
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匈牙利算法（求出二分图的最大匹配数）：
满足 是二分图 这个前提，才能使用匈牙利算法
所谓 最大匹配数 的意思就是：
两个集合分别选一个点，这两个点之间有边就确认一段关系（一个集合中的两点 占有 另一集合中同一个点 是不合法的 一夫一妻（确信） ），最多的关系数量就是这张二分图的最大匹配
代码：
bool find(int x) { //标准匈牙利
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && g[x][j]) {
//x 点连向的所有点（因为是二分图，所以这些点都在右集合），如果存在边且没标记过
st[j] = true;
//标记一下，防止多次遍历
int t = match[j];
//右集合中该点的匹配对象
if (!t || find(t)) {
//没对象就可以和 x 匹配，有的话就让 t 尝试更改对象，能更改就和 x 匹配，不能就false
match[j] = x;
return true;
}
}
return false;
}
int main() {
cin >> n;
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) { //遍历左集合
memset(st, 0, sizeof st);//每次都要重置标记
if (find(i))ans++;//一旦有一个匹配，数量就++
}
cout << ans;
return 0;
}
最坏情况会每个点遍历全部边一次，所以时间复杂度是 O ( n m ) O(nm) O(nm)
但匈牙利算法还是很优秀的，大部分情况时间都比较小
如果想要更优秀的算法左转 网络流 吧，匈牙利匹配本质上还是网络流的一种特殊形式，网络流可以更好地解决此类问题。网络流真是太简单了bushi
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相应题目应用：
二分图 染色 应用：
Acwing：关押罪犯
题意又臭又长，总结就是：
尽可能将 仇恨值大的 两名罪犯放在不同监狱中
把仇恨值当作罪犯之间的边的边权，两座监狱看作两个集合
这道题就变成了 如何让二分图 两集合之间的边权 尽可能大（使得集合内部边权尽可能小，冲突也就没那么激烈）
观察数据范围，此题可以用 二分 + 染色法 求解
代码：
#include——————————————————————————————————————————
二分图最大匹配应用：
Acwing：棋盘覆盖
看上去像状压dp，但一看数据范围 2 100 2^{100} 2100状压肯定炸，所以探讨一下是否具有二分图的性质
如果把每个格子看成点，放置骨牌（长2宽1）的操作可以看成 两点之间连一条边
那每个格子能放置骨牌就有四种情况四个方向连四条边（除非另一个格子被禁止放置）
每个格子都这样处理，可以得到一张图
可以发现的是，能放置最多骨牌 == 能不重复尽可能多地选取边 == 最大匹配数量
之前说过，求最大匹配的前提是这张图是二分图，所以我们需要判断下这张图是否具有二分图的性质
纸上作画一下便可发现，奇数格/偶数格 彼此之间是没有边的（相当于二分图中的两个集合）
因此，
代码：
#include同类型题
洛谷：矩阵游戏
洛谷题解就挺好
目的是使得最终（1，1）（2，2）…（n，n）都有一个点
可以看作为，最终状态需要每 i 行和 i 列都存在一个匹配
建图方式：对于 i 行 j 列的1点，建一条 i 连向 j 的边即可，最后跑一个二分图匹配，只有匹配数为 n 才能说明有解
可以证明交换行、交换列的操作不会影响匹配数
代码：
#include——————————————————————————————————————————
二分图最大匹配的一些推论：
由最大匹配推导而来，本文不细节探讨证明（我也不会啊 ）
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二分图最小点覆盖应用：
证明可得：二分图的最大匹配数 == 最小点覆盖（证明理解不能，寄了）
什么是最小点覆盖？
最小点覆盖并不只在二分图中才存在
在一个图中任意选取 最少 多少个点（两个集合中都可以选！），可以保证图中 所有的边都与选取的点相连
这个数量就是最小点覆盖
Acwing：机械任务
代码：
#include同类型题
思维上更巧妙的最小点覆盖应用
Acwing：泥地
代码：
#include——————————————————————————————————————————
二分图最大独立集应用：
最大独立集 是一个点数，指在一个图中选取最多多少个点，可以使得这些点所组成的集合 内部任意两点间没有边
最大独立集 ==（总点数 - 最小点覆盖）
Acwing：骑士放置
代码：
#include——————————————————————————————————————————
二分图 最大路径点覆盖 与 最大路径重复点覆盖 应用：
最小路径点覆盖含义：
用最少的点，覆盖图中全部的 不相交 路径，这个路径数是多少？
等于总点数 - 最小点覆盖 / 最大匹配数
最小路径点重复覆盖含义：
用最少的点，覆盖图中全部路径（可以有分叉），这个路径数是多少？
等于 对图做一个传递闭包后的 总点数 - 最小点覆盖 / 最大匹配数
Acwing：捉迷藏
代码：
#include——————————————————————————————————————————
笔记做吐了ou