2022张宇考研基础30讲 第六讲 中值定理

第六讲 中值定理

介值定理

导数介值定理

证明：

与函数的介值定理不同，函数的介值定理要求函数连续，但是在这里，只需要满足：

这一点即可。

这是因为

如果一个函数可导，那么这个导函数不可能存在跳跃间断点。
也不会存在可去间断点和无穷间断点（但是有可能会有振荡间断点，但是不会违背导数介值定理）

（因为即使是振荡间断点，也可以取得-1到1所有的值，因此不会违背导数介值定理）

平均值定理

例题：

看到多个相加的 用平均值定理，加起来除以个数。然后再用罗尔定理

积分中值定理还可以理解为平均值定理

费马定理

证明过程：

如果表达式大于或小于零 并且极限存在 则根据极限的保号性定理 极限的符号就等于表达式的符号

看到导数想到用定义，定义写出来后可以发现f（x）不是在端点而是在区间内取得最大值，说明存在极值，则可以用费马定理

由此可以引申出这样的一个结论：

罗尔定理

推广的罗尔定理可以直接使用

因此 证明某点导函数值为零可以有以下的思路：

除了这种考法，还有另外的考法：

构造辅助函数

例如：



对于1.6.6

应该把1移过去
然后可以发现

再例如

通用法则

例如1.6.6：

1.6.3：

第一种方法：

可以从需要证明的东西出发：

例如这个

移项后 构造

其实看到这个可以想到积分中值定理（也就是平均值定理）

第二种方法：

出题人所给的提示就是这个东西

因此这里可以构造函数：

令F(X)就等于这个

然后其实这两种方法只差了一个常数：

而常数对于求导来说没什么区别

1.6.6

在证第二问的时候遇到了困难，这时候困难就需要用到第一问的结论

另外一种考法，多次使用罗尔定理：

在上图 三次使用了罗尔定理：三点相同，就可以证二阶导等于零
例题：

需要用到的知识：

我们需要证明这个：
根据下节的拉格朗日：

题目又给了积分：
已知变限积分：

因此见到定积分想到这两种：

想到可以用拉格朗日：

但是总结下来可以知道第一问可以直接使用平均值定理：

第二问

同样用平均值定理

这样就可以得到三个相等的点，就可以使用过罗尔定理了
然后使用三次罗尔定理

罗尔定理的难点在于构造函数和找相同的点

拉格朗日中值定理

特殊的0和1：

因此，上面那题的那一问还可以这样写：

观察这题所要证明的东西可以看到与罗尔定理有类似之处，说下区别：
首先拉格朗日可以推罗尔：

如果要证导数=0用罗尔，如果要证一阶导数等于一个函数值用拉格朗日

多次使用拉格朗日

证明两个不同的值相等的时候，不能在一个区间内使用拉格朗日，因为如果在一个区间内使用拉格朗日会导致两个值可能是相同的。此时需要划分区间，然后在不同的区间使用。

然后对其取倒数后可得：

那么接下来需要证明：

所以接下来只要取f（τ）=1/2即可
而根据介值定理 一定存在τ属于（0,1）使得f（τ）=1/2

所以如果是考研题会有个第一问：

柯西中值定理

（柯西不是由两次拉格朗日除法得出的）

另外 柯西中值定理考的较少
33年只有2000考过一次

柯西取g（x）=x可以推出拉格朗日
拉格朗日取f（a）=f（b）可以推出罗尔定理

（正好柯西的老师是拉格朗日，拉格朗日老师是罗尔，一代一代发扬光大tql）

例题：

泰勒公式

说到区间时用拉格朗日，说到极限时可用佩亚诺余项

并且还需要注意这两个定理成立的条件：

例题：

接下来看这题的第二问：

看到所要证明的东西中有积分和对称区间，我们联想到：

首先对于积分形式 有这样的一个关系：奇函数在对称区间积分和为零）

接下来在第一问的基础上，两边取积分：

接下来其实最关键的一步 就是用有界最值定理了

1和2的联系：积分
2和3的联系：拉格朗日
2和4的联系：泰勒