leetcode刷题笔记——array

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004：寻找两个正序数组的中位数

题目链接

假设nums1的长度为n,nums2的长度为m。

思路1：

​ 可以很直接的想到，可以先将题目给的两个数组合并成一个数组，然后对这个合并后的数组进行排序，就可以根据数组的长度来返回中位数的值了。本方法时间复杂度为o((n+m)log(n+m))。代码如下：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2){
        for(auto a:nums2)nums1.push_back(a);
        sort(nums1.begin(),nums1.end());
        int n=nums1.size();
        if(n%2)return nums1[n/2];
        else return (nums1[n/2]+nums1[n/2-1])/2.0;
    }
};

思路2：

​ 仔细看思路1的解法，实际上对任意的数组，都可以用这个方法求出他们的中位数。这意味着这种解法的一般性太强了。注意到题目给出了这两个数组满足的性质----各自升序排列。那么如果利用上这个性质，是否可以设计出更高效的算法呢？答案是可以的。首先想到的就是归并排序。思路是这样的：由于两个数组都分别升序排列，那么我们只需要使用两个指针，扫描这两个数组，每次比较指针位置数字的大小，选择小的一个就是思路1中排完序后该数所在的正确位置。我们亦可以使用一个计数器，统计当前已经处在正确位置上的数的个数，当达到中位数的位置时，返回该数即可。需要区分数组长度是奇数还是偶数的情况。本方法的时间复杂度为o(m+n)。代码如下：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        double ans=0;
        int n=nums1.size(),m=nums2.size();
        int i=0,j=0,k=-1;
        int target=(n+m)/2;
        bool f=(n+m)%2==0;
        while(i<n&&j<m){
            while(i<n&&j<m&&nums1[i]<=nums2[j]){
                k++;
                if(k+1==target)ans+=nums1[i];
                if(k==target&&f)return (ans+nums1[i])/2;
                if(k==target)return nums1[i];
                i++;
            }
            while(j<m&&i<n&&nums2[j]<=nums1[i]){
                k++;
                if(k+1==target)ans+=nums2[j];
                if(k==target&&f)return (ans+nums2[j])/2;
                if(k==target)return nums2[j];
                j++;
            }
        }
        while(i<n){
            k++;
            if(k+1==target)ans+=nums1[i];
            if(k==target&&f)return (ans+nums1[i])/2;
            if(k==target)return nums1[i];
            i++;
        }
        while(j<m){
            k++;
            if(k+1==target)ans+=nums2[j];
            if(k==target&&f)return (ans+nums2[j])/2;
            if(k==target)return nums2[j];
            j++;
        }
        return ans;
    }
};

思路3：

​ 一般情况下，我们能写出线性时间复杂度的算法，绝大多数都能够满足题目要求了。但这并不妨碍我们继续探索对数时间复杂度的算法。还是考虑数组有序的条件，我们看到有序，就应该条件反射般的想到二分，那么这道题能否用二分的思想来解决呢？答案也是可以的。

​ 我们要思考，要将复杂度降成log级别，那么我们必须一次迭代就排除多个错误答案，将搜索范围减小总范围的常数倍。在这里，寻找中位数，就是寻找第k=(m+n)/2个或者k=(m+n)/2-1个数，我们可以每次比较两个数组的第(m+n)/2-1个数，这样，我们就可以根据这两个数的大小关系，一次性排除(m+n)/2个数。在具体实现的时候，还需要再注意一下边界条件的判断问题。具体的请移步leetcode官方题解。这里时空复杂度都是o(log(m+n))。具体代码如下：

class Solution {
public:
    int getKthElement(const vector<int>& nums1, const vector<int>& nums2, int k) {
        /* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
         * 这里的 "/" 表示整除
         * nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
         * 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
         * 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
         * 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
         * 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
         */

        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        int index1 = 0, index2 = 0;

        while (true) {
            // 边界情况
            if (index1 == m) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if (index2 == n) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }

            // 正常情况
            int newIndex1 = min(index1 + k / 2 - 1, m - 1);
            int newIndex2 = min(index2 + k / 2 - 1, n - 1);
            int pivot1 = nums1[newIndex1];
            int pivot2 = nums2[newIndex2];
            if (pivot1 <= pivot2) {
                k -= newIndex1 - index1 + 1;
                index1 = newIndex1 + 1;
            }
            else {
                k -= newIndex2 - index2 + 1;
                index2 = newIndex2 + 1;
            }
        }
    }

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int totalLength = nums1.size() + nums2.size();
        if (totalLength % 2 == 1) {
            return getKthElement(nums1, nums2, (totalLength + 1) / 2);
        }
        else {
            return (getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2) + getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
};