games101作业1
1.任务
本次作业的任务是完成旋转矩阵和透视投影矩阵（投影转换中的透视矩阵Perspective projection）。
2.渲染前的步骤及细节
我们在此次作业模拟了将三维空间图形经过模型变换、相机变换（View/Camera transformation ）、透视变换、视口变换、最终将变换后的图形打到屏幕上。下面将依次介绍这些变换，以及具体的变换方法和代码展示。
2.1模型变换：
想象我们在拍一张照片。
那么，找到一个好的拍摄地点和安排被拍摄的对象（arrange people）是我们最开始要做的，模型变换指的就是这个。
具体一点：模型变换表现为被投影的物体在世界坐标系下（XYZ）的平移和旋转变换，它变现为我们最初给定的位置，经历了怎样的运动：
matrix*物体原始坐标-------->>>运动后的新坐标
从代码角度实现，本题让我们实现get_model_matrix()函数,逻辑是每次返回饶Z轴旋转的旋转矩阵。旋转矩阵是这样的：
. get_model_matrix(float rotation_angle):逐个元素地构建模型变换矩阵并返回该矩阵。在此函数中，你只需要实现三维中绕z轴旋转的变换矩阵，而不用处理平移与缩放。
旋转矩阵转为 代码如下：
Eigen :: Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle){
Eigen :: Matrix4f model = Eigen ::Matrix4f ::Identity();
model << std ::cos (rotation_angle/180*acos ( -1)),
std ::sin((rotation_angle/180*acos ( -1))*( -1),0 ,0
,std ::sin(rotation_angle/180*acos ( -1))，
std ::cos (rotation_angle/180*acos ( -1)),0,0,
0,0,1,0，
0,0,0 ,l;
return model;
}acos(-1)就是圆周率，sin函数需要角度转弧度，所以需要*π/180.
2.2视图（相机）变换
Find a good “angle” to put the camera (view transformation),找到一个好角度去放置相机。
想象一下，放置相机时，如何可以确定拍照角度？首先需要确定的是相机的位置(position)，再一个是确定相机的朝向(gaze direction)，还有一个比较关键，是要确定相机的向上方向。因为相机如果位置定了，朝向定了，如果相机选择了那么照出来的结果也会不同。所以我们需要就上一个向上方向的向量（up direction）。
可以发现的，如果相机和物体一起移动，就像物理中的相对运动一样，他们的相对运动是不变的。
为了方便之后投影变换，我们需要将此gte左边转换为空间直角坐标，将position移动到坐标系的源点（origin），那么g需要旋转到-z轴，t旋转到Y轴，剩下的g x t旋转到X轴。
那么用数学公式如何转换？
Tview 的平移矩阵：如果将目标坐标移动到源点，当然需要移动负的x,y,z了。
其次，做Rview，将坐标轴依次转换成xyz空间直角坐标轴。
如果我们先从xyz转换到gte是比较好转换的，
可以测试矩阵的正确性，如带入1，0,0,0，乘以Rview-1 是可以得到X轴的坐标值 g*t的
(Xg*t )x (1)+(Xt)x(0)+(X-g)x(0) = g*t;
如果被转换positon坐标为（0,0,5），如何求出Rview中各值呢？
第一行的值代表X轴，也是g*t 求得，第二行代表up direction,也就是Y轴，xyz坐标系下的UP direction 方向应该是（0,0,1）,第三行代表-Z轴,由-g坐标求得。
Eigen::Matrix4f get_view_matrix(Eigen::Vector3f eye_pos){
Eigen :: Matrix4f view = Eigen :: Matrix4f :: Identity();
Eigen ::Vector3f g = eye_pos;
Eigen ::Vector3f t = {0,1,0};Eigen ::Vector3f e = g.cross(t);
view << e.x( ),e.y () ,e.z(),0,
t.x() ,t.y() ,t.z(),0，
-g.x(),-g.y(),-g.z(),0
,0,0,0,l;
Eigen ::Matrix4f translate;
translate << 1，0，0， -eye _pos[0]，
0，1，0, -eye_pos[1]，
0，0，1,-eye_pos[2]，
0，0，0，l;
view = translate * view;
return view;
}作业中给出的get_view_matrix 函数只给出了把目标位置移动到源点（Tview） ,并没有进行Rview.
目标坐标输入为（0,0,5）。在后面的实现中，如果不在此函数中实现坐标轴的旋转，显示在屏幕的三角形是从Z轴的平行视角看的（沿着Z轴）。而在此函数中实现了坐标轴的旋转，我们看向三角形的角度与Z轴行成了一定的角度。但在屏幕中不能完全看到三角形的全貌，但是如果下面的g轴如果为负，结果貌似还正常一点：
Eigen ::Vector3f g = - eye_pos;
看没有轴旋转的显示结果：
那么到底该不该在这里进行轴的旋转矩阵操作呢？
2.3投影变换
分为正交投影和透视投影perspective projection
正交投影可以看做将视点看成在无限远处，拍摄照片似右图效果。
如何做出透视投影？
1.首先将截锥压成长方体(n -> n, f -> f) (M persp->ortho)
2. 做正交投影Mortho
推导“挤压”时用到的矩阵：
首先先要找到被转换的点与源点之间的关系
俯视图可能不够直观，来个立体的：
所以：
其次坐标表示：
通过上述式子可求矩阵的几个位置的值：
再次：？号都是什么？
从截锥体挤压到长方体的矩阵需要推导求得，我们通过两个特殊的地方：
1.任何近平面上的点都不会改变
2.远平面上的任何点z都不会改变
通过推导可得：
f:远平面在Z轴上的位置
做完了投影变换，接下来就是做正交变换，将矩形体变换为【-1,1】的标准立方体。
通常做法先将“挤压”好的立方体中心置于坐标源点，再缩放使得其大小为【-1,1】^3。
正交矩阵为：
先看右侧的平移矩阵，每个点都移动到了-r+l/2的位置，将立方体中心和源点重合；
再看左侧的缩放变换：
首先先求r和l,t和b,n和f
nf值是函数给定的形参，分别赋值即可；
r,l是代表可视角度/2 = 高度一半/n,已知可视角度和n，所以可求t;
t可求，r=t*aspect 所以r可求。也就是高宽比的宽度；接着l和b都可求。
最后附上代码：（矩阵中带入的值进行了简化）
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
float zNear, float zFar)
{
Eigen::Matrix4f Mpersp, Mscale, Mtrans, MP2O;
float fovY = eye_fov*PI/180.0;
float t = abs(zNear)*tanf(fovY/2);
float r = t*aspect_ratio;
Mscale << 1/r, 0, 0, 0,
0, 1/t, 0, 0,
0, 0, 2/(zNear-zFar), 0,
0, 0, 0, 1;
Mtrans << 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, -(zNear+zFar)/2,
0, 0, 0, 1;
MP2O << zNear, 0, 0, 0,
0, zNear, 0, 0,
0, 0, zNear+zFar, -zNear*zFar,
0, 0, 1, 0;
Mpersp = Mscale*Mtrans*MP2O;
return Mpersp;
}
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