leetcode 62. 不同路径(简单dp)

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题目来源： leetcode官网
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题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

算法分析

此题方法是用dp

我们画一个图，模拟一下不同路径

由于是一个简单的dp，这里直接给出递归公式
f(i, j) = f(i - 1, j) + f(i, j - 1)

由于有特殊情况， 当i == 0 时， f(i, j) = f（i, j - 1）; 当j == 0 时，f(i, j) = f（i - 1, j ）
当然了 当i ==0 && j == 0 时， f(i, j) = 1

代码实现

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));

        for(int i = 0; i < m; i ++)
            for(int j = 0; j < n; j ++)
            {
                if (!i && !j) f[i][j] = 1;
                else 
                {
                    if(i) f[i][j] += f[i - 1][j];
                    if(j) f[i][j] += f[i][j - 1];
                }
            }

        return f[m - 1][n - 1];
    }
};

上述做法需要一个大小为m x n的二维数组，空间复杂度为O(mn)，但其实dp[i][j]只会用到dp[i-1][j]和dp[i][j-1]，不会用到之前的数据，因此可以用滚动数组减小空间复杂度。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> f(n, 1);  // 全部初始化1

        for(int i = 1; i < m; i ++)
            for(int j = 1; j < n; j ++)
            {
                f[j] += f[j - 1];
            }

        return f[n -1];
    }
};

执行结果：

时间复杂度分析

动态规划， 时间复杂度为O(m * n)

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