什么是分治算法？

分治算法(divide and conquer algorithm)是指把大问题分割成多个小问 题，然后把每个小问题分割成多个更小的问题，直到问题的规模小到能够 轻易解决。这种算法很适合用递归实现，因为把问题分割成多个与自身相 似的小问题正对应递归情况，当小问题已经达到了能够轻易解决的规模时， 遇到基本情况。分治算法所采用的解题策略有一项优势——并行地处理小 问题，这允许多个CPU (中央处理器)或多台计算机同时处理它们。

详细讲解见《递归算法与项目实战》第5章。（摘录部分内容）

第5章要讲解一些适合采用递归实现的分治算法，如二分搜索、快速排序 以及归并排序算法等。另外，我们还要重新考虑怎样对数组中的各整数求和，这次你会看到如何用 分治策略解决该问题。最后，第5章会介绍卡拉楚巴乘法算法，该算法为实现计算机硬件的快速乘法打下了基础。

1 二分搜索

假设书架上面有100本书。你并不记得每一本具体放在什么地方，但你知道这些书已经按 照书名字母顺序排列好。于是，在寻找 Zebras: The Complete Guide 这样的书时，你肯定不会从 头开始找，因为书架一开始摆放的应该是Aaron Burr Biography那种首字母靠前的书，你应该 在书架末尾的那些书中寻找才对。这本谈zebras的书未必是书架上的最后一本，因为它后面可 能还有名称以 zephyrs、zoos 或 zygotes 等词开头的书，尽管如此，但是它应该离书架末尾不太 远。我们可以把这样两个事实当作自己试探的基础(或者当作推理的线索),从而决定从末尾而 从不是开头寻找这本书。第一，书架上的书是按书名字母顺序排列的；第二，我们要找的这本 书的首字母为Z, 这样的书应该在书架的后一半，而不是前一半。

二分搜索 (binary search) 又称为二分查找，是一种通过反复将有序列表分成大致相等的 两半而从中搜索待查目标的方法。最公允的二分方式就是平分，也就是先查书架正中的那本 书，如果它不是你要找的书，那么接下来判断你要找的书是位于书架的前一半，还是位于书 架的后一半。

然后，你可以继续执行这个将有序列表分成大致相等的两半的操作，如图5-1 所示。也 就是说，你在刚才确定的那一半中，首先查看中间那本书，如果它不是你要找的书，那么接 下来判断你要找的书是在这个范围的前一半(也就是左侧),还是在这个范围的后一半(也就 是右侧),这样确定的范围大约相当于书架所有书数量的1/4。反复执行这一操作，直至找到你要找的书，如果你已经把这个范围缩小到0,但还没有找到自己要找的书，就可以宣布，这 本书不在书架上面。

图5-1 用二分搜索法反复将有序列表分成相等的两半，以便在其中寻找目标元素

这种搜索策略能够有效推广到更大规模的数据，因为即使图书的总量翻倍，整个搜索过 程也只会增加一步。假如用线性的(也就是一本一本的)搜索方式在摆放着50本书的书架上 寻找某一本书，那么最多有可能需要50步，在摆放着100本书的书架上寻找某一本书，最多 有可能需要100步。与之相比，用二分搜索法在摆放着50本书的书架上寻找某一本书，最多 只需要6步，在摆放着100本书的书架上寻找某一本书，最多只需要7步。

现在，我们把实现递归式的二分搜索算法时所要考虑的3个问题回答一遍。

• 什么是基本情况? 待搜索的范围长度为0的情况，或该范围中间的那个元素正好是待查 元素的情况。
• 在递归函数调用中应该传入什么样的参数? 传入接下来要搜索的这个范围的起止下标。
• 在递归函数调用中传入的参数是如何向基本情况靠近的?由于每次递归调用都会把搜 索范围变成原来的一半，因此最后该范围内总会出现只有一个元素的情况。如果这个元 素是我们要找的元素，那么二分搜索算法就遇到了其中一种基本情况，它会返回该元素 的位置；如果不是，那么下一次递归肯定会让待查范围的长度变为0,从而使二分搜索 算法遇到另一种基本情况，它会返回None, 以表示找不到该元素。

下面的 binarySearch.py程序中有一个binarySearch() 函数，它能够在haystack 参数表示的有序列表中搜索needle 参数表示的值。

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关于《递归算法与项目实战》这本书

本书是写给那些害怕递归算法或对递归算法感兴趣的人的。对于程序员新手或计算机科学 专业大一的学生而言，递归好像是魔法。许多递归课程很难懂，这让许多人非常沮丧，甚至望 而生畏。对于这些读者，我希望本书直白的解读和大量的示例能让递归更容易理解。

要看懂本书，你必须会编写基本的 Python程序或 JavaScript 程序，因为正文中的示例代码 是用这两种语言编写的。本书中的代码去除了多余的部分，只保留了精华。你只要知道怎么创 建并调用函数，而且明白全局变量与局部变量有什么区别，就能够看懂书中的所有示例。

本书有14章。

第1部分包含第1～9章。

第1章解释什么叫递归，并说明编程语言中函数的实现方式与函数调用方式为什么会很自 然地形成递归。该章还会说明递归为什么不像想象中那样神奇。

第2章深入讨论递归与迭代的区别及相似之处。

第3章讲解经典的递归算法。

第4章讨论一种很适合用递归解决的问题，也就是树状结构的遍历问题，例如，当走迷宫 或浏览目录时，有可能需要做这样的遍历。

第5章讨论如何用递归把大问题拆分成多个小问题，并讲解常见的分治算法。

第6章讨论涉及排列与组合的递归算法，以及适合用这些算法解决的常见编程问题。

第7章讲解在用递归解决实际问题时提高编码效率的一些简单的技巧——记忆化与动态 规划。

第8章讲解尾调用优化及其原理。

第9章展示一些可以用递归算法绘制的图形。在该章中，我们使用 turtle 模块生成这些 图形。

第2部分包含第10～14章。

第10章介绍如何实现文件查找器项目，用于根据用户提供的搜索参数搜索计算机中的文件。

第11章讨论如何实现迷宫生成器项目——用递归回溯算法自动生成任意大小的迷宫。

第12章讲述如何实现滑块拼图项目，用于解决滑块拼图(这种拼图通常由15 个可以横竖 滑动的方块构成)问题。

第13章讨论如何实现分形图案制作器项目，生成指定的分形图案。

第14 章讨论如何实现画中画制作器项目：用 Pillow 这个图像操纵模块，生成递归式的画 中画效果。