线性代数的本质 - 11 - 抽象线性空间

抽象向量空间

思考一个问题，什么是向量？

你可能会说：一组数字，一个有向箭头，空间中一个点等等。

为了打破这种思维定势，更加全面客观地认识向量，我们考虑这样一种特殊的向量，它既不是一组数字也不是一个有向箭头，但同样具有向量特性，它就是函数。

• 假设有函数 f(x) f ( x ) 和 g(x) g ( x ) ， (f+g)(x) ( f + g ) ( x ) 自然就等于 f(x)+g(x) f ( x ) + g ( x ) ,这一点我们画图就可以轻易得到。这是不是很像两个向量相加就把坐标对应相加的过程？只不过这里有无数个坐标。
• 同样， (2f)(x)=2f(x) ( 2 f ) ( x ) = 2 f ( x ) 也有合理的解释。这再次和向量对应坐标数乘类似。

以上，因为对向量所能进行的操作不过相加和数乘两种，所以在以空间中的箭头为背景考虑的线性代数的合理概念和解决问题的手段，应该都能原封不动地应用于函数。

举个例子，函数的线性变换有一个完全合理地解释——求导，这个变换接收一个函数，并把它变成另一个函数。

我们之前已经给出了线性的严格定义：

L(v⃗ +w⃗ )=L(v⃗ )+L(w⃗ ) L ( v → + w → ) = L ( v → ) + L ( w → ) 可加性

L(cv⃗ )=cL(v⃗ ) L ( c v → ) = c L ( v → ) 成比例

这两个性质最重要的推论是：一个线性变换可以通过它对基向量的作用来完全描述，这使得矩阵乘法成为可能。因为任一向量都能表达为基向量以某种方式进行线性组合，所以求一个向量变换后的结果，实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果。

这两个性质可以很好地在导数中体现，所以求导的确是一个线性变换。现在让我们来看看用矩阵描述求导是什么样子的。

• 首先需要选基向量。因为多项式已经是不同倍数的 x x 的幂次再做和的形式，所以很自然地就取 x x 的不同幂次作为基函数，分别是 1,x2,x3,x4,... 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . . ，只不过有无穷多个基向量。此时，多项式 x2+3x+5 x 2 + 3 x + 5 用矩阵来描述就是
  ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢53100⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ [ 5 3 1 0 0 ⋮ ]
• 求导是用一个无限阶矩阵描述的，这个矩阵长这个样子
  ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0000⋮1000⋮0200⋮0030⋮⋯⋯⋯⋯⋱⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ [ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 3 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ]
  这个矩阵的列就是每个基向量的求导结果。
• 将多项式的矩阵和上面这个无限阶矩阵相乘，就得到了求导的结果。

以上，我们就把求导和矩阵乘法这两个看起来毫不相干的内容紧密联系了起来。

事实上，不止是求导，线性代数中的很多概念，在函数中都有体现：

• 线性变换 ⟺ ⟺ 线性算子
• 点积 ⟺ ⟺ 内积
• 特征向量 ⟺ ⟺ 特征函数

再回到什么是向量这个问题上，这时你肯定不会直接就回答向量是一组数、一个有向箭头等，因为我们已经展示了，函数也是一种向量。那到底什么是向量呢，怎么定义向量呢？

其实数学中有很多类似向量的事物，只要处理的对象有合理的数乘和相加的概念，并且满足以下性质，就是一个合理的线性空间：

• u⃗ +(v⃗ +w⃗ )=(u⃗ +w⃗ )+w⃗  u → + ( v → + w → ) = ( u → + w → ) + w →
• v⃗ +w⃗ =w⃗ +v⃗  v → + w → = w → + v →
• 存在 0⃗  0 → 使得 0⃗ +v⃗ =v⃗  0 → + v → = v →
• 对任意向量 v⃗  v → 存在 −v⃗  − v → 使得 v⃗ +(−v⃗ )=0⃗  v → + ( − v → ) = 0 →
• a(bv⃗ )=(ab)v⃗  a ( b v → ) = ( a b ) v →
• 1v⃗ =v⃗  1 v → = v →
• a(v⃗ +w⃗ )=av⃗ +aw⃗  a ( v → + w → ) = a v → + a w →
• (a+b)v⃗ =av⃗ +bv⃗  ( a + b ) v → = a v → + b v →

以上规则被称为八条公理。