【学习笔记】CF1651F Tower Defense

首先转换一下题意。令$cu{r}_i$表示第$i$个塔当前的魔力，每次操作，我们将过程描述为：

• 对于每个$i$，$cu{r}_i:=\min (a_i+t\cdot r_i,c_i)$，其中$t$表示和上一个怪兽出现的时间之差
• 找到一段前缀，将这段前缀推平成$0$

考虑对塔分块。对于每个块，我们维护是否有推平标记，以及上一次被推平的时间。我们只需预处理出，假设当$t=0$时这段区间被推平，过了$x$秒后这段区间的和即可。根据推平标记的均摊可以得到复杂度为$O(n\sqrt{n})$。

考虑优化。首先我们知道单个位置的$cu{r}_i$关于时间$t$是分段函数，而若干个一次函数的和可以简单维护，因此可以考虑对于每个时间$t$建立一个线段树（用可持久化线段树实现），这样我们能快速求出区间$[l,r]$的和；其次，类似于颜色段均摊，每次区间推平时颜色段会减少，并且每次操作时颜色段只会增加常数段，因此复杂度均摊为$O(n\log n)$。

#include
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ull unsigned long long
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int M=N*30;
int n,m,tot,st[N],f[N],pre[N],rt[N];
ll c[N],re[N],cur[N],res;
vector<int>q[N];
struct node{
    int l,r;
    ll k,b;
}t[M];
void pushup(int p){
    t[p].k=t[t[p].l].k+t[t[p].r].k;
    t[p].b=t[t[p].l].b+t[t[p].r].b;
}
void build(int &p,int l,int r){
    if(!p)p=++tot;
    if(l==r){
        t[p].k=re[l];
        return;
    }int mid=l+r>>1;
    build(t[p].l,l,mid),build(t[p].r,mid+1,r);
    pushup(p);
}
int upd(int p,int l,int r,int x){
    int q=++tot;
    if(l==r){
        t[q].b=c[x];
        return q;
    }t[q]=t[p];
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid)t[q].l=upd(t[q].l,l,mid,x);
    else t[q].r=upd(t[q].r,mid+1,r,x);
    pushup(q);
    return q;
}
void del(int p,int l,int r,int ql,int qr,ll d,ll &h){
    if(ql>qr)return;
    if(ql<=l&&r<=qr){
        h-=d*t[p].k+t[p].b;
        return;
    }int mid=l+r>>1;
    if(ql<=mid)del(t[p].l,l,mid,ql,qr,d,h);
    if(mid<qr)del(t[p].r,mid+1,r,ql,qr,d,h);
}
ll sm1[M],sm2[M];
void dfs(int p,int l,int r,int x){
    if(l==r){
        sm1[p]=t[p].k,sm2[p]=t[p].b;
        return;
    }int mid=l+r>>1;
    if(x>mid){
        dfs(t[p].r,mid+1,r,x);
        sm1[p]=sm1[t[p].r];
        sm2[p]=sm2[t[p].r];
    }
    else{
        dfs(t[p].l,l,mid,x);
        sm1[p]=sm1[t[p].l]+t[t[p].r].k;
        sm2[p]=sm2[t[p].l]+t[t[p].r].b;
    }
}
int query(int p,int l,int r,int x,ll d,ll h){
    if(l==r){
        if(h>=d*t[p].k+t[p].b)return l;
        return l-1;
    }int mid=l+r>>1;
    if(x>mid)return query(t[p].r,mid+1,r,x,d,h);
    if(x<=l){
        if(h>=t[t[p].l].k*d+t[t[p].l].b){
            return query(t[p].r,mid+1,r,x,d,h-t[t[p].l].k*d-t[t[p].l].b);
        }
        else{
            return query(t[p].l,l,mid,x,d,h);
        }
    }
    else{
        if(h>=sm1[t[p].l]*d+sm2[t[p].l]){
            return query(t[p].r,mid+1,r,x,d,h-sm1[t[p].l]*d-sm2[t[p].l]);
        }
        else{
            return query(t[p].l,l,mid,x,d,h);
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>c[i]>>re[i],cur[i]=c[i];
        st[i]=i,f[i]=1;
        ll x=(c[i]+re[i]-1)/re[i];
        if(x<=200000)q[x].pb(i);
    }
    build(rt[0],1,n);
    for(int i=1;i<=200000;i++){
        rt[i]=rt[i-1];
        for(auto e:q[i]){
            rt[i]=upd(rt[i],1,n,e);
        }
    }
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ll t,h;cin>>t>>h;
        int p=1;
        while(p<=n){
            if(f[p]){
                cur[p]=min(c[p],cur[p]+(t-pre[p])*re[p]);
                pre[p]=t;
                ll tmp=min(h,cur[p]);
                cur[p]-=tmp,h-=tmp;
                if(!h)break;
                p++;
            }
            else{
                int d=t-pre[p];
                dfs(rt[d],1,n,p);
                int r=query(rt[d],1,n,p,d,h);
                if(r>=st[p]){
                    del(rt[d],1,n,p,st[p],d,h);
                    p=st[p]+1;
                }
                else{
                    r++;
                    del(rt[d],1,n,p,r-1,d,h);
                    cur[r]=min(c[r],(t-pre[p])*re[r])-h;
                    if(r<st[p])st[r+1]=st[p],pre[r+1]=pre[p],f[r+1]=0;
                    st[r]=r,f[r]=1,pre[r]=t,h=0,p=r;
                    break;
                }
            }
        }
        if(p>1){
            st[1]=p-1,f[1]=0,pre[1]=t;
        }
        res+=h;
    }
    cout<<res;
}