逆元概念及其求解方法

逆元

引出

存在取模运算公式：

(a + b) % c = (a % c + b % c) % c

(a * b) % c = (a % c * b % c) % c

(a - b) % c = (a % c - b % c + c) % c

但是不存在取模运算公式:

(a / b) % c = (a % c / b % c) % c

这时候逆元就出现了，逆元就是在mod下，不能直接除以一个数，而是要乘以它的逆元。

我们令inv（b）表示b的逆元，即inv（b） = b ^ -1

那么对于公式 (a / b) % c = (a % c / b % c) % c 我们可以写成乘法取模运算的形式，

可以转化成 (a * inv(b)) % c = (a % c * inv(b) % c) % c, 这样不就合法了。

逆元概念：

概念：

你元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。

加法逆元：

对于一个数n, n和其加法逆元（或称相反数）之和是加法单位（即数字0）。

Eg:

8的加法逆元是-8

-0.5的加法逆元是0.5

乘法逆元：

对于任意的整数a，满足b|a（a能够被b整除），则存在一个整数x，使得 a / b ≡ a * x （mod p） 称 x 为 b 的模p 乘法逆元， x记为b ^ -1 （mod p）。

我们对于该同余等式 a / b ≡ a * x （mod p）进行化简：

两边同成b： a ≡ a * b * x （mod p）

两边同时除以a： 1 ≡ b * x （mod p）

化简结果为： b * x ≡ 1（mod p）

为了方便记我们就写成：ax ≡ 1 （mod p）

乘法逆元的充分必要条件以及求解方法：

我们在上述已经介绍了乘法逆元，即它的形式是： ax ≡ 1 （mod p）

那么什么时候这个同余等式是有解的呢？（即它的充分必要条件）

充分必要条件： a存在逆元的充分必要的条件是a与模数p互质。（互质数即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数）

求解方法：

对于p是否为质数，我们可以分成两种求乘法逆元的方法。

1）当p为质数，可以用快速幂求逆元（费马小定理）

由费马小定理可知，当p为质数时

a^（p - 1）≡ 1 （mod p）

拆出一个a来可得：a * a * （p - 2） ≡ 1 （mod p）

故当p为质数时，a的乘法逆元 x = a ^ (p - 2)

当然可能数p - 2很大，我们用快速幂来求解即可。

特例：

对于a是p的倍数的情况，其公约数时p，a和p肯定是不互质的，所以无解，即ax % p = 0

但是当a = 2， p = 2, a ^ （p - 2）= 2 ^（2 - 2） ≡ 1 mod（p）

因此对于a = 2 ， p = 2 的情况需要特别判断一下（一般通过a % p == 0的方法判断掉）。

代码：

递归版（重复调用函数）

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 1e9;
const int N = 1e5 + 5;
int n;
int a,b,p;
ll quick_mi(ll a,int b,int p){
    if(b==0)return 1;//指数可能会取到0
    if(b==1)return a%p;
    else if(b%2==1)return quick_mi((a*a)%p,b/2,p)*a%p;
    else if(b%2==0)return quick_mi((a*a)%p,b/2,p)%p;
}
int main()
{
    cin>>n;
    while(n--){
        cin>>a>>p;
        if(a%p!=0)cout<<quick_mi(a,p-2,p)<<endl;
        else cout<<"impossible"<<endl;
    }
    return 0;
}

迭代版（重复使用一个结构）

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 1e9;
const int N = 1e5 + 5;
int n,a,p;
ll quick_mi(int a,int b,int p){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%p;
        a=a*(ll)a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n;
    while(n--){
        cin>>a>>p;
        if(a%p!=0)cout<<quick_mi(a,p-2,p)<<endl;
        else cout<<"impossible"<<endl;
    }
    return 0;
}

2）当p不为质数，可以用扩展欧几里得算法求逆元

由充分必要条件知，a有逆元的充要条件是a 与 p 互质，即 gcd（a， p） = 1

假设a的逆元为x，那么有a * x ≡ 1 （mod p）

等价： ax + py = 1

通过扩展欧几里得算法求解exgcd（a， p， x， y）即可。