Leetcode 518. 零钱兑换 II

方法一：动态规划

这道题中，给定总金额 amount 和数组coins，要求计算金额之和等于 amount 的硬币组合数。其中，coins 的每个元素可以选取多次，且不考虑选取元素的顺序，因此这道题需要计算的是选取硬币的组合数。

可以通过动态规划的方法计算可能的组合数。用dp[x] 表示金额之和等于 xx 的硬币组合数，目标是求 dp[amount]。

动态规划的边界是 dp[0] = 1。只有当不选取任何硬币时，金额之和才为 0，因此只有 1 种硬币组合。

对于面额为 coin 的硬币，当 coin ≤ i ≤ amount 时，如果存在一种硬币组合的金额之和等于 i−coin，则在该硬币组合中增加一个面额为 coin 的硬币，即可得到一种金额之和等于 ii 的硬币组合。因此需要遍历 coins，对于其中的每一种面额的硬币，更新数组 dp 中的每个大于或等于该面额的元素的值。

由此可以得到动态规划的做法：

初始化 dp[0] = 1；

遍历 coins，对于其中的每个元素 coin，进行如下操作：

遍历 i 从 coin 到 amount，将 dp[i − coin] 的值加到 dp[i]。
最终得到 dp[amount] 的值即为答案。

上述做法不会重复计算不同的排列。因为外层循环是遍历数组 coins 的值，内层循环是遍历不同的金额之和，在计算 dp[i] 的值时，可以确保金额之和等于 i 的硬币面额的顺序，由于顺序确定，因此不会重复计算不同的排列。

例如，coins = [1,2]，对于 dp[3] 的计算，一定是先遍历硬币面额 1 后遍历硬币面额 2，只会出现以下 2 种组合：

硬币面额 22 不可能出现在硬币面额 11 之前，即不会重复计算 3=2+13=2+1 的情况。

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int& coin : coins) {
            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
                dp[i] += dp[i - coin];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(amount×n)，其中 amount 是总金额，n 是数组 coins 的长度。需要使用数组 coins 中的每个元素遍历并更新数组 dp 中的每个元素的值。

空间复杂度：O(amount)，其中 amount 是总金额。需要创建长度为 amount+1 的数组 dp。

参考资料

https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/