前缀和算法
前缀和算法
- 1 一维前缀和
-
- 1.1 模版
- 2 二维前缀和
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- 2.1 模版
- 2.2 题目
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- 2.2.1 二维区域和检索 - 矩阵不可变
- 2.2.2 元素和为目标值的子矩阵数量
- 2.2.3 矩形区域不超过 K 的最大数值和
1 一维前缀和
1.1 模版
2 二维前缀和
2.1 模版
// 预处理前缀和数组
{
sum = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
// 当前格子(和) = 上方的格子(和) + 左边的格子(和) - 左上角的格子(和) + 当前格子(值)【和是指对应的前缀和，值是指原数组中的值】
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
}
// 首先我们要令左上角为 (x1, y1) 右下角为 (x2, y2)
// 计算 (x1, y1, x2, y2) 的结果
{
// 记作 22 - 12 - 21 + 11，然后 不减，减第一位，减第二位，减两位
// 也可以记作 22 - 12(x - 1) - 21(y - 1) + 11(x y 都 - 1)
ans = sum[x2 + 1][y2 + 1] - sum[x1][y2 + 1] - sum[x2 + 1][y1] + sum[x1][y1];
}
作者：AC_OIer
链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-2d-immutable/solution/xia-ci-ru-he-zai-30-miao-nei-zuo-chu-lai-ptlo/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
2.2 题目
2.2.1 二维区域和检索 - 矩阵不可变
题目链接：304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变
给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：
计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的 左上角 为 (row1, col1) ，右下角 为 (row2, col2) 。
实现 NumMatrix 类：
NumMatrix(int[][] matrix) 给定整数矩阵 matrix 进行初始化
int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) 返回 左上角 (row1, col1) 、右下角 (row2, col2) 所描述的子矩阵的元素 总和 。
示例 1：如上图
输入:
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出:
[null, 8, 11, 12]
解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)
提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 200
-105 <= matrix[i][j] <= 105
0 <= row1 <= row2 < m
0 <= col1 <= col2 < n
最多调用 104 次 sumRegion 方法
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-2d-immutable
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
代码：
class NumMatrix {
int rows;
int cols;
int[][] preSum;
public NumMatrix(int[][] matrix) {
rows = matrix.length;
cols = matrix[0].length;
preSum = new int[rows + 1][cols + 1];
for (int i = 1; i <= rows; i++) {
for (int j = 1; j <= cols; j++) {
preSum[i][j] = preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
}
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return preSum[row2 + 1][col2 + 1] - preSum[row2 + 1][col1] - preSum[row1][col2 + 1] + preSum[row1][col1];
}
}
/**
* Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
* NumMatrix obj = new NumMatrix(matrix);
* int param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2);
*/
2.2.2 元素和为目标值的子矩阵数量
题目链接：1074. 元素和为目标值的子矩阵数量
给出矩阵 matrix 和目标值 target，返回元素总和等于目标值的非空子矩阵的数量。
子矩阵 x1, y1, x2, y2 是满足 x1 <= x <= x2 且 y1 <= y <= y2 的所有单元 matrix[x][y] 的集合。
如果 (x1, y1, x2, y2) 和 (x1', y1', x2', y2') 两个子矩阵中部分坐标不同（如：x1 != x1'），那么这两个子矩阵也不同。
示例 1：如上图
输入：matrix = [[0,1,0],[1,1,1],[0,1,0]], target = 0
输出：4
解释：四个只含 0 的 1x1 子矩阵。
示例 2：
输入：matrix = [[1,-1],[-1,1]], target = 0
输出：5
解释：两个 1x2 子矩阵，加上两个 2x1 子矩阵，再加上一个 2x2 子矩阵。
示例 3：
输入：matrix = [[904]], target = 0
输出：0
提示：
1 <= matrix.length <= 100
1 <= matrix[0].length <= 100
-1000 <= matrix[i] <= 1000
-10^8 <= target <= 10^8
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-submatrices-that-sum-to-target
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
- 朴素二维前缀和，非最优：
class Solution {
public int numSubmatrixSumTarget(int[][] matrix, int target) {
int rows = matrix.length, cols = matrix[0].length;
int[][] preSum = new int[rows + 1][cols + 1];
for (int i = 1; i <= rows; i++) {
for (int j = 1; j <= cols; j++) {
preSum[i][j] = preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < cols; j++) {
for (int p = 0; p <= i; p++) {
for (int q = 0; q <= j; q++) {
if (preSum[i + 1][j + 1] - preSum[p][j + 1] - preSum[i + 1][q] + preSum[p][q] == target) {
ans++;
}
}
}
}
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：O(M2 * N2)
- 空间复杂度：O(M*N)
- 前缀和 + 哈希表
思路就是将行进行压缩，然后按照 560 题的一维前缀和算法求解
class Solution {
public int numSubmatrixSumTarget(int[][] matrix, int target) {
int rows = matrix.length, cols = matrix[0].length;
int ans = 0;
for (int up = 0; up < rows; up++) {
int[] sum = new int[cols]; // 上下界之间的累加和
for (int down = up; down < rows; down++) {
for (int col = 0; col < cols; col++) {
sum[col] += matrix[down][col];
}
ans += sumEqualsK(sum, target);
}
}
return ans;
}
// 一维前缀和，即 560题的方法
private int sumEqualsK(int[] nums, int k) {
int length = nums.length;
Map<Integer, Integer> preSumMap = new HashMap<>();
preSumMap.put(0, 1);
int preSum = 0;
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < length; i++) {
preSum += nums[i];
int target = preSum - k;
cnt += preSumMap.getOrDefault(target, 0);
preSumMap.merge(preSum, 1, (oldValue, newValue) -> oldValue + newValue);
}
return cnt;
}
}
2.2.3 矩形区域不超过 K 的最大数值和
题目链接：363. 矩形区域不超过 K 的最大数值和
给你一个 m x n 的矩阵 matrix 和一个整数 k ，找出并返回矩阵内部矩形区域的不超过 k 的最大数值和。
题目数据保证总会存在一个数值和不超过 k 的矩形区域。
示例 1：如上图
输入：matrix = [[1,0,1],[0,-2,3]], k = 2
输出：2
解释：蓝色边框圈出来的矩形区域 [[0, 1], [-2, 3]] 的数值和是 2，且 2 是不超过 k 的最大数字（k = 2）。
示例 2：
输入：matrix = [[2,2,-1]], k = 3
输出：3
提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100
-105 <= k <= 105
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/max-sum-of-rectangle-no-larger-than-k
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
class Solution {
public int maxSumSubmatrix(int[][] matrix, int k) {
int rows = matrix.length, cols = matrix[0].length;
int[][] preSum = new int[rows + 1][cols + 1];
for (int i = 1; i <= rows; i++) {
for (int j = 1; j <= cols; j++) {
preSum[i][j] = preSum[i][j - 1] + preSum[i - 1][j] - preSum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
int ans = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < cols; j++) {
for (int p = 0; p <= i; p++) {
for (int q = 0; q <= j; q++) {
int sum = preSum[i + 1][j + 1] - preSum[i + 1][q] - preSum[p][j + 1] + preSum[p][q];
if (sum > ans && sum <= k) {
ans = sum;
}
}
}
}
}
return ans;
}
}