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    • 比例恒等式(分式恒等式)
      • 分式等式链

比例恒等式(分式恒等式)

  • a b = c d \frac{a}{b}=\frac{c}{d} ba=dc(0)令这个比值为 k k k,则 a = k b a=kb a=kb(0-1), c = k d c=kd c=kd(0-2),以下恒等式在表达式有意义的情形下成立(例如分母不为0)

  • 合比定理: a + b b = c + d d \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d} ba+b=dc+d(1)

    • 对式(0)两边同时加 1 1 1,得 a b + 1 = c d + 1 \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1 ba+1=dc+1,通分得式(1)
  • 分比定理: a − b b = c − d d \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d} bab=dcd(2)

    • 对式(0)两边同时减1,得式(2)
    • 也可以由合比定理将 b b b − b -b b代替得到
  • 合分比定理: a + b c − b = c + d c − d \frac{a+b}{c-b}=\frac{c+d}{c-d} cba+b=cdc+d(3)

    • 由式(1)比去式(2),即得(3)
  • a c \frac{a}{c} ca= b d \frac{b}{d} db(4)

    • 将(0-1,0-2)得 a c \frac{a}{c} ca= k b k d \frac{kb}{kd} kdkb= b d \frac{b}{d} db
  • a + c b + d = k \frac{a+c}{b+d}=k b+da+c=k,即 a b = c d \frac{a}{b}=\frac{c}{d} ba=dc= a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c= k k k(5)

    • 由(0-1,0-2),得 a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c= k ( b + d ) b + d \frac{k(b+d)}{b+d} b+dk(b+d)= k k k

分式等式链

  • 推广:若 a 1 b 1 \frac{a_1}{b_1} b1a1= ⋯ \cdots = a n b n \frac{a_n}{b_n} bnan= k k k,则 ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n b i \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}b_{i}} i=1nbii=1nai= k k k(6)

    • I = {   1 , 2 , ⋯   , n   } I=\set{1,2,\cdots,n} I={1,2,,n}, S S S是从 I I I中任意选出 m m m个元素构成的几何 ( m ∈ [ 1 , n ] , m ∈ N + ) (m\in{[1,n]},m\in\mathbb{N_{+}}) (m[1,n],mN+),都有 ∑ i ∈ S a i ∑ i ∈ S b i \Large{\frac{\sum_{i\in S}a_{i}}{\sum_{i\in{S}}b_{i}}} iSbiiSai= k k k(6-1)

    • ∑ i ∈ S k i a i ∑ i ∈ S k i b i \Large{\frac{\sum_{i\in S}k_{i}a_{i}}{\sum_{i\in{S}}k_{i}b_{i}}} iSkibiiSkiai= k k k,(6-2)其中 k i ∈ {   − 1 , 1   } k_i\in\set{-1,1} ki{1,1}

      • 因为 a i b i = − a i − b i \frac{a_{i}}{b_{i}}=\frac{-a_{i}}{-b_{i}} biai=biai= k k k,再由结论(5),可知结论(6-2)成立

  • y x = y + z x + z \frac{y}{x}=\frac{y+z}{x+z} xy=x+zy+z= k k k,则 k = 1 k=1 k=1
    • 由性质(5), y x \frac{y}{x} xy= y + z − y x + z − x \frac{y+z-y}{x+z-x} x+zxy+zy= z z \frac{z}{z} zz=1;所以 k = 1 k=1 k=1,即 x = y x=y x=y
    • 方法2: y = k x y=kx y=kx; y + z = k x + k z y+z=kx+kz y+z=kx+kz,联立得 k = 1 k=1 k=1,即 x = y x=y x=y

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