C/C++数据结构（七） —— Tree的前世今生
文章目录
- 1. 树
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- 什么是树
- 树的基本术语
- 树的表示
- 树在实际中的运用
- 2. 二叉树
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- 什么是二叉树
- 满二叉树
- 完全二叉树
- 二叉树的性质
- 二叉树的存储结构
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- 顺序存储
- 链式存储
- 3. 二叉树练习题
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- 题目 1
- 题目 2
- 题目 3
- 题目 4
- 题目 5
1. 树
什么是树
什么是 树 呢？在现实⽣活中有很多体现 树 的逻辑的例⼦。
例如企业⾥的职级关系，就是⼀个 “树”（如下图所示）。
除⼈与⼈之间的关系之外，许多抽象的东⻄也可以成为⼀个 “树”，如⼀本书的⽬录（如下图所示）。
以上这些例⼦有什么共同点呢？为什么可以称它们为 “树” 呢？
因为它们都像⾃然界中的树⼀样，从同⼀个 根 衍⽣出许多 枝⼲，再从每⼀个 枝⼲ 衍⽣出许多更⼩的 枝⼲，最后衍⽣出更多的 叶⼦（如下图所示）。
在数据结构中，树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。（如下图所示）
树的特点：
（1）有一个 特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
（2）除根节点外，其余结点被分成 M（M>0）个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti（1<= i <= m）又是一棵结构与树类似的子树。
（3）每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
（3）因此，树是递归定义的。
树的基本术语
根节点： 一棵树最上面的节点称为根节点；如下图：根节点为 A。
节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如下图：A 有 B、C、D、E 四个子树，那么 A 的度为 4。
父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如下图：A 是 B、C、D、E 的父节点。
子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如下图：B 是 A 的子节点。
（父节点、子节点： 如果一个节点下面连接多个节点，那么该节点称为父节点，它下面的节点称为子节点。）
叶子节点（终端节点）： 没有任何 子节点 的节点称为叶子节点，也就是 度为 0 的节点；如下图：C、F、I、J、K、L、M、O 为 叶子节点。
分支节点（非终端节点）： 度不为 0 的节点； 如下图：B、D、E…等节点为分支节点。
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如下图：B、C 是兄弟节点。
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度，也就是该节点孩子的个数； 如下图：A 的度为 4，B 的度为 3，C 的度为 0，D 的度为 2，E 的度为 1 等等，那么 树的度 为 树中拥有最多节点的度，所以 树的度 为 4。
节点的层次： 从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；如下图：树总共有 5 层。
树的高度（深度）： 树中节点的最大层次； 如下图：树中最大的层次为 5，那么树的高度就为 5。
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如下图：D、E 的父亲都在同一层，那么 D、E 就为堂兄弟节点。
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如下图：A 是所有节点的祖先。
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如下图：所有节点都是 A 的子孙
森林： 由 m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。
树的示例
树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系。
实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法 以及 孩子兄弟表示法 等。
这里就简单的举例，孩子兄弟表示法。
代码示例
typedef int DataType
struct Node
{
struct Node* firstChild; //第一个孩子结点
struct Node* nextBrother; //指向下一个兄弟结点
DataType data; //结点中的数据域
};
对于任意树，我们都可以用孩子兄弟法访问到树中的每一个结点（如下图所示）。
树在实际中的运用
在 Linux 中，表示文件系统的目录树结构（如下图所示）。
2. 二叉树
什么是二叉树
⼆叉树（Binary Tree）是树的⼀种特殊形式。⼆叉，顾名思义，这种树的每个节点最多有 2 个孩⼦节点 。
注意，这⾥是最多有 2 个，也可能只有 1 个，或者没有孩⼦节点。
⼆叉树的结构如图所⽰
⼆叉树节点的两个孩⼦节点，⼀个被称为 左孩⼦（left child） ，⼀个被称为 右孩⼦（right child） 。这两个孩⼦节点的顺序是固定的，就像⼈的左⼿就是左⼿，右⼿就是右⼿，不能够颠倒或混淆。
此外，⼆叉树还有两种特殊形式，⼀个叫作 满⼆叉树 ，另⼀个叫作 完全⼆叉树 。
满二叉树
什么是满⼆叉树呢？
⼀个⼆叉树的所有⾮叶⼦节点都存在左右孩⼦，并且所有叶⼦节点都在同⼀层级上，那么这个树就是满⼆叉树（如下图所示）。
简单点说，满⼆叉树的每⼀个分⽀都是满的。
性质：
1）一颗树深度为 h，最大层数为 k，深度与最大层数相同，k = h
2）叶子节点数（最后一层）为： 2 k − 1 2^k−1 2k−1
3）第 i 层的节点数是： 2 i − 1 2^i−1 2i−1
4）总节点数是： 2 k − 1 2^k-1 2k−1，且总节点数一定是 奇数。
完全二叉树
什么⼜是完全⼆叉树呢？完全⼆叉树的定义很有意思。
对⼀个有 n 个节点的⼆叉树，按层级顺序编号，则所有节点的编号为从 1 到 n。
如果这个树所有节点和同样深度的满⼆叉树的编号为从 1 到 n 的节点位置相同，则这个⼆叉树为完全⼆叉树。
这个定义还真绕，看看下图就很容易理解了（如下图所示）。
在上图中，⼆叉树编号从 1 到 12 的 12 个节点，和前⾯满⼆叉树编号从 1 到 12 的节点位置完全对应。因此这个树是完全⼆叉树。
完全⼆叉树的条件没有满⼆叉树那么苛刻：
满⼆叉树要求所有分⽀都是满的；
⽽完全⼆叉树只需保证最后⼀个节点之前的节点都⻬全即可。
性质：
若设二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。满足下列性质：
1）只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子节点只能在层次最大的两层上出现；
2）对任一节点，如果其右子树的深度为 j，则其左子树的深度必为 j 或 j+1。 即度为 1 的点只有 1 个或 0 个；
3）除最后一层，第 i 层的节点数是： 2 i − 1 2^i−1 2i−1；
4）有 n 个节点的完全二叉树，其深度为： l o g 2 n + 1 log_{2}^{n+1} log2n+1（ l o g 2 n + 1 log_{2}^{n+1} log2n+1 是 log 以 2 为底，n+1 为对数)；
5）满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
二叉树的性质
性质 1：
若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点。
性质 2：
.若规定根节点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2 h − 1 2^h-1 2h−1。
性质 3：
对任何一棵二叉树，如果度为 0 其叶结点个数为 n 0 n_0 n0，度为 2 的分支结点个数为 n 2 n_2 n2，则有 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1。
性质 4：
若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度， h = l o g 2 n + 1 h=log_{2}^{n+1} h=log2n+1。
性质 5：
对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照 从上至下 从左至右 的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
1） 若 i > 0 ，i 位置节点的双亲序号：(i-1) / 2；i = 0，i 为根节点编号，无双亲节点。
2） 若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n 否则无左孩子。
3）若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n 否则无右孩子。
如下图所示
二叉树的存储结构
那么，⼆叉树在内存中是怎样存储的呢？
我们知道数据结构可以划分为 物理结构 和 逻辑结构。⼆叉树属于逻辑结构，它可以通过多种物理结构来表达。
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种 顺序结构，一种 链式结构。
顺序存储
顺序结构就是使用 数组 来存储（如下图所示）
使⽤数组存储时，会按照层级顺序把⼆叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某⼀个节点的左孩⼦或右孩⼦空缺，则数组的相应位置也空出来。
为什么这样设计呢？因为这样可以更⽅便地在数组中定位⼆叉树的孩⼦节点和⽗节点。
假设⼀个⽗节点的下标是 parent
那么它的左孩⼦节点下标就是 l e f t C h i l d = 2 × p a r e n t + 1 leftChild = 2×parent + 1 leftChild=2×parent+1；
右孩⼦节点下标就是 r i g h t C h i l d = 2 × p a r e n t + 2 rightChild = 2×parent + 2 rightChild=2×parent+2 。
反过来，假设⼀个孩⼦节点的下标是 child（不分左右孩子），那么它的⽗节点下标就是 p a r e n t s = ( c h i l d − 1 ） / 2 parents = (child-1）/ 2 parents=(child−1）/2 。
假如节点 4 在数组中的下标是 3，节点 4 是节点 2 的左孩⼦，节点 2 的下标可以直接通过计算得出。
节点 2 的下标 = (3-1) / 2 = 1
显然，对于⼀个稀疏的⼆叉树来说，⽤数组表⽰法是⾮常浪费空间的。
什么样的⼆叉树最适合⽤数组表⽰呢？我们后⾯即将学到的 ⼆叉堆，⼀种特殊的完全⼆叉树，就是⽤数组来存储的。
链式存储
链式存储是⼆叉树最直观的存储⽅式。
之前讲过链表，链表是⼀对⼀的存储⽅式，每⼀个链表节点拥有 data 变量和⼀个指向下⼀节点的 next 指针（如下图所示）。
⽽⼆叉树稍微复杂⼀些，⼀个节点最多可以指向 左右两个孩⼦节点，所以⼆叉树的每⼀个节点包含 3 部分。
1）存储数据的 data 变量
2）指向左孩⼦的 left 指针
3）指向右孩⼦的 right 指针
链式结构又分为 二叉链 和 三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面学红黑树等会用到三叉链。
代码示例
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}；
3. 二叉树练习题
既然我们已经了解二叉树的基本概念，来看几道选择题吧！
题目 1
题目描述
某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为？
选项
A、不存在这样的二叉树
B、200
C、198
D、199
答案解析
答案：B
根据 性质 3，叶子结点（度为0）的个数 200 个，由于 199 + 200 = 399（该二叉树的总结点数），所以该二叉树的叶子结点数为 200。
这道题很简单，直接把选项带入题目中去
题目 2
题目描述
下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是？
选项
A、非完全二叉树
B、堆
C、队列
D、栈
答案解析
答案：C
队列 可以数组和链表的结构实现，使用链表的结构实现更优一些，因为如果使用数组的结构，出队列在数组头上出数据，效率会比较低。
题目 3
题目描述
在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为？
选项
A、n
B、n+1
C、n-1
D、n/2
答案解析
答案：A
根据 性质 3，度为 0 的结点数和度为 2 的结点数之和应为 奇数，因为该完全二叉树的结点总数为 2n（偶数），所以二叉树中必然存在一个度为 1 的结点。
于是可以推出：度为 0 的结点和度为 2 的结点总共有 2n-1 个。
性质 3：对任何一棵二叉树，度为 0 的叶结点个数比度为 2 的分支结点个数多 1，所以该二叉树度为 1 的结点个数为 n-1，度为 0 的结点数（即叶结点数）为 n。
难点注意
任何一棵 完全二叉树 中度为 1 的结点要么有 1 个，要么就没有度为 1 的结点。
因为完全二叉树的最后一层的结点必须是从左到右连续的，而位于最后一层之前的层数的结点的度均为 2。
如下图所示
题目 4
题目描述
一棵完全二叉树的节点数位为 531 个，那么这棵树的高度为？
选项
A、11
B、10
C、8
D、n/2
答案解析
答案：B
假设该完全二叉树的层数为 k，则该完全二叉树的前 k - 1 层的结点总数为 2 k − 1 − 1 2^{k-1}-1 2k−1−1；
若该完全二叉树是 满二叉树，则该满二叉树的结点总数为 2 k − 1 2^k-1 2k−1。
所以深度为 k 的完全二叉树的结点总数范围为： 2 k − 1 − 1 < N < = 2 k − 1 2^{k-1}-1 < N <= 2^k-1 2k−1−1<N<=2k−1。
因为 2 9 < 531 < = 2 1 0 2^9 < 531 <= 2^10 29<531<=210 ，所以该完全二叉树的高度为 10。
注意： 2 1 0 = 1024 2^10 = 1024 210=1024。
题目 5
题目描述
一个具有 767 个节点的完全二叉树，其 叶子节点 个数为？
选项
A、383
B、384
C、385
D、386
答案解析
答案：B
该题与第 3 题的道理是一样的，因为该树的结点总数为 767（奇数），所以该树中不存在度为 1 的结点；
度为 2 的结点个数为 383，度为 0 的结点个数为 384，
即叶子结点个数为 384。