matlab实现拉格朗日插值

        拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于根据已知数据点的值，估计在两个数据点之间的位置上的函数值。它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点，从而进行插值。

        假设我们有n+1个数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi为已知的不同的x坐标，yi为对应的函数值。

        拉格朗日插值的多项式表示为：

                                        P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)

        其中，Li(x) 是拉格朗日基函数，定义如下：

         Li(x) = (x - x0) / (xi - x0) * (x - x1) / (xi - x1) * ... * (x - xi-1) / (xi - xi-1) * (x - xi+1) / (xi - xi+1) * ... * (x - xn) / (xi - xn)

        插值函数 P(x) 是通过将每个数据点乘以对应的基函数，并将它们加和得到的。

        使用拉格朗日插值，可以根据已知数据点的值，估计在某个位置x处的函数值P(x)。这个估计的值可能会在实际函数值附近产生误差，尤其是当数据点较稀疏或者存在噪声时。因此，在使用拉格朗日插值时，需要注意控制插值误差，并了解插值函数的局限性。

        需要注意的是，拉格朗日插值仅适用于已知数据点之间的插值，而不适用于数据点之外的外推。在实际应用中，可能会使用更高级的插值方法，如样条插值或基于多项式拟合的方法，以获得更好的插值效果。

function [C,L]=lagran(X,Y)
% 输入
% X,Y均为数组且长度相同，值对应
% 输出
% C为相关系数，若C=[1,2,3],则多项式为Y=1*x^2+2*x+3;
% L为包含拉格朗日系数多项式矩阵

w=length(X);
n=w-1;
L=zeros(w,w);
for k=1:n+1
    V=1；
    for j=1:n+1
        if k~=j
            V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));
        end
    end
    L(k,:)=V;
end
C=Y*L;
end
%--------------main---------------%
% y=x^3次，拉格朗日插值
clc;
clear;
x = -2:1:2;
y = x.^3;
[C,Y]=lagran(x,y);
xi = -2:0.1:2;
yi=polyval(C,xi);
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
xlim([-2, 2]);ylim([-8, 8]);
legend('插值点', '拉格朗日插值');