矩阵的迹和矩阵的特征值的关系：tr(A)=Σλ(A)

矩阵的迹和矩阵的特征值的关系：tr(A)=Σλ(A)

这篇博客将讨论矩阵的迹和矩阵的特征值的关系。

1、矩阵的迹

矩阵的迹(trace)通常定义为矩阵对角元的和。因此只有方阵才有迹。
$$tr(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

2、矩阵的特征值

把矩阵看成线性变换系统，输入信号经过线性系统波形不变，仅仅是幅度上乘以一个常数。

y = Ax = λx

求法：解特征方程式。

1. f(λ) = det(λE-A)=0，f(λ)称为特征多项式，是关于λ的一元n次多项式。

2. 根据代数基本定理，f(λ)在复数域可以因式分解为：$f(\lambda )={\Pi }_{i=1}^n(\lambda -{\lambda }_i)=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a0$

3. 根据韦达定理：

   1. ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$
   2. ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=-\frac{a_0}{a_n}$

4. 关注det(λE-A) = ${\lambda }^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}){\lambda }^{n-1}+\cdots +常数项$

5. 一对比，显然得$tr(A)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$

6. det(λE-A) 展开之后，只有对角元相乘，才会包含${\lambda }^n$和${\lambda }^{n-1}$。

7. det(λE-A)，令λ=0，则得到det(-A) = (-1)ⁿdet(A) = a₀=特征多项式的常数项

到目前为止，和一般教材上的内容都差不多。下面在多介绍一点儿韦达定理，这有利于理解上述结论是如何得出的。

3、韦达定理

1. 一元二次方程：ax²+bx+c=0
   1. x1+x2 = -b/a;
   2. x1·x2 = c/a
2. 一元n次方程： $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a0=a_n(x-x_1)(x-x2)\cdots (x-x_n)$=0;
   1. 上式代数基本定理保证成立，x_i是方程的根，属于复数域；
   2. $右端=\begin{array}{rl}{a}_n[& x^n-(x_1+x_2+\cdots +x_n)x^{n-1}]-\\ & (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n)x^{n-2}+\cdots +\\ & (-1{)}^n{x}_1{x}_2\cdots x_n]\end{array}$
   3. 对比系数得：
      1. $\sum x_i=(-1{)}^1\frac{a_{n-1}}{a_n}$;
      2. $\sum x_i{x}_j=(-1{)}^2\frac{a_{n-2}}{a_n}$;
      3. $\sum x_i{x}_j{x}_k=(-1{)}^3\frac{a_{n-3}}{a_n}$;
      4. $x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$.
   4. 3.1和3.4用的最多