(由于平台对文章篇幅限制,此文分为上下两个部分,开头部分请参阅《使用戴德金分割法从有理数域构造实数域(上)》)
满足乘法与加法的分配律
这里取任意 α \alpha α, β \beta β, γ ∈ R + \gamma \in R^+ γ∈R+,下面我们来证明对于 R + R^+ R+中乘法与加法满足分配律,也就是证明下式成立。
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
由于 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗,由乘法与序公理我们知道 α + β > 0 ∗ + β = β \alpha + \beta > 0^* + \beta = \beta α+β>0∗+β=β,又 β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗,于是 α + β > 0 ∗ \alpha + \beta > 0^* α+β>0∗,于是 α + β ∈ R + \alpha + \beta \in R^+ α+β∈R+,于是由 R + R^+ R+中乘法定义可知 α ( β + γ ) > 0 ∗ \alpha(\beta + \gamma) > 0^* α(β+γ)>0∗。另外,由 R + R^+ R+中乘法的定义,我们知道 α β ∈ R + \alpha\beta \in R^+ αβ∈R+, α γ ∈ R + \alpha\gamma \in R^+ αγ∈R+,于是,同样的便也有 α β + α γ ∈ R + \alpha\beta + \alpha\gamma \in R^+ αβ+αγ∈R+。
设 p ∈ α ( β + γ ) p \in \alpha(\beta + \gamma) p∈α(β+γ),如果 p ≤ 0 p \leq 0 p≤0,便可知 p ∈ α β + α γ p \in \alpha\beta + \alpha\gamma p∈αβ+αγ。如果 p > 0 p > 0 p>0,那么有 p = a b p = ab p=ab,其中 a ∈ α a \in \alpha a∈α且 a > 0 a > 0 a>0, b ∈ β + γ b \in \beta + \gamma b∈β+γ且 b > 0 b > 0 b>0,于是有 b = c + d b = c + d b=c+d,其中 c ∈ β c \in \beta c∈β且 c > 0 c > 0 c>0, d ∈ γ d \in \gamma d∈γ且 d > 0 d > 0 d>0,于是 p = a b = a ( c + d ) = a c + a d p = ab = a(c + d) = ac + ad p=ab=a(c+d)=ac+ad,可以看出 a c ∈ α β ac \in \alpha\beta ac∈αβ, a d ∈ α γ ad \in \alpha\gamma ad∈αγ,于是 a c + a d ∈ α β + α γ ac + ad \in \alpha\beta + \alpha\gamma ac+ad∈αβ+αγ,于是 p ∈ α β + α γ p \in \alpha\beta + \alpha\gamma p∈αβ+αγ。于是 α ( β + γ ) ⊂ α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) \subset \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)⊂αβ+αγ。
设 p ∈ α β + α γ p \in \alpha\beta + \alpha\gamma p∈αβ+αγ,如果 p ≤ 0 p \leq 0 p≤0,便可知 p ∈ α ( β + γ ) p \in \alpha(\beta + \gamma) p∈α(β+γ)。如果 p > 0 p > 0 p>0,那么有 p = a + b p = a + b p=a+b,其中 a ∈ α β a \in \alpha\beta a∈αβ且 a > 0 a > 0 a>0, b ∈ α γ b \in \alpha\gamma b∈αγ且 b > 0 b > 0 b>0,于是有 a = c d a = cd a=cd,其中 c ∈ α c \in \alpha c∈α且 c > 0 c > 0 c>0, d ∈ β d \in \beta d∈β且 d > 0 d > 0 d>0,于是有 b = e f b = ef b=ef,其中 e ∈ α e \in \alpha e∈α且 e > 0 e > 0 e>0, f ∈ γ f \in \gamma f∈γ且 f > 0 f > 0 f>0。现在可分三种情况:
- 如果 c = e c = e c=e,于是 p = a + b = c d + e f = c ( d + f ) p = a + b = cd + ef = c(d + f) p=a+b=cd+ef=c(d+f),可以看出 d + f ∈ β + γ d + f \in \beta + \gamma d+f∈β+γ,于是于是 p ∈ α ( β + γ ) p \in \alpha(\beta + \gamma) p∈α(β+γ)。
- 如果 c < e c < e c<e,于是 p = a + b = c d + e f < e d + e f = e ( d + f ) p = a + b = cd + ef < ed + ef = e(d + f) p=a+b=cd+ef<ed+ef=e(d+f),可以看出 d + f ∈ β + γ d + f \in \beta + \gamma d+f∈β+γ,于是 e ( d + f ) ∈ α ( β + γ ) e(d + f) \in \alpha(\beta + \gamma) e(d+f)∈α(β+γ),又 p < e ( d + f ) p < e(d + f) p<e(d+f),再由 R R R定义的条件2可知 p ∈ α ( β + γ ) p \in \alpha(\beta + \gamma) p∈α(β+γ)。
- 如果 e < c e < c e<c,于是 p = a + b = c d + e f < c d + c f = c ( d + f ) p = a + b = cd + ef < cd + cf = c(d + f) p=a+b=cd+ef<cd+cf=c(d+f),可以看出 d + f ∈ β + γ d + f \in \beta + \gamma d+f∈β+γ,于是 c ( d + f ) ∈ α ( β + γ ) c(d + f) \in \alpha(\beta + \gamma) c(d+f)∈α(β+γ),又 p < c ( d + f ) p < c(d + f) p<c(d+f),再由 R R R定义的条件2可知 p ∈ α ( β + γ ) p \in \alpha(\beta + \gamma) p∈α(β+γ)。
于是 α β + α γ ⊂ α ( β + γ ) \alpha\beta + \alpha\gamma \subset \alpha(\beta + \gamma) αβ+αγ⊂α(β+γ)。
以上,我们便证明了:
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
在 R R R中定义乘法
在 R + R^+ R+中定义了乘法之后,我们结合加法负元的性质,便可以将乘法扩展到 R R R中:
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R,规定 α 0 ∗ = 0 ∗ α = 0 ∗ \alpha0^* = 0^*\alpha = 0^* α0∗=0∗α=0∗;
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R且 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β ∈ R \beta \in R β∈R且 β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗,于是 α ∈ R + \alpha \in R^+ α∈R+, β ∈ R + \beta \in R^+ β∈R+,规定 α β \alpha\beta αβ适用 R + R^+ R+中乘法规则;
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R且 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β ∈ R \beta \in R β∈R且 β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗,于是我们知道 β − > 0 ∗ \beta^- > 0^* β−>0∗,规定 α β = ( α β − ) − \alpha\beta = (\alpha\beta^-)^- αβ=(αβ−)−;
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R且 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β ∈ R \beta \in R β∈R且 β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗,于是我们知道 α − > 0 ∗ \alpha^- > 0^* α−>0∗,规定 α β = ( α − β ) − \alpha\beta = (\alpha^-\beta)^- αβ=(α−β)−;
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R且 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β ∈ R \beta \in R β∈R且 β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗,于是我们知道 α − > 0 ∗ \alpha^- > 0^* α−>0∗, β − > 0 ∗ \beta^- > 0^* β−>0∗,规定 α β = α − β − \alpha\beta = \alpha^-\beta^- αβ=α−β−。
由上面定义可知,对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R, β ∈ R \beta \in R β∈R,有 α β ∈ R \alpha\beta \in R αβ∈R。
满足乘法公理
由于乘法定义扩大到了 R R R中,于是我们需要重新证明 R R R中乘法满足乘法公理。这里取任意 α \alpha α, β \beta β, γ ∈ R \gamma \in R γ∈R,下面我们来证明对于 R R R中乘法的定义满足乘法公理。
交换律
当 α \alpha α与 β \beta β中至少有一个为 0 ∗ 0^* 0∗时,由乘法第1条规则可知,这时有
α β = β α \alpha\beta = \beta\alpha αβ=βα
当 α \alpha α与 β \beta β都不为 0 ∗ 0^* 0∗时,分以下4种情况:
- 当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗时,这时适应 R + R^+ R+中的乘法规则,之前已经证明了是满足交换律的,也就是有
α β = β α \alpha\beta = \beta\alpha αβ=βα
- 当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗时,这时有 α β = ( α β − ) − \alpha\beta = (\alpha\beta^-)^- αβ=(αβ−)−, β α = ( β − α ) − \beta\alpha = (\beta^-\alpha)^- βα=(β−α)−,由 R + R^+ R+中交换律可知 α β − = β − α \alpha\beta^- = \beta^-\alpha αβ−=β−α,于是有
α β = β α \alpha\beta = \beta\alpha αβ=βα
- 当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗时,这时有 α β = ( α − β ) − \alpha\beta = (\alpha^-\beta)^- αβ=(α−β)−, β α = ( β α − ) − \beta\alpha = (\beta\alpha^-)^- βα=(βα−)−,由 R + R^+ R+中交换律可知 α − β = β α − \alpha^-\beta = \beta\alpha^- α−β=βα−,于是有
α β = β α \alpha\beta = \beta\alpha αβ=βα
- 当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗时,这时有 α β = ( α − β − ) − \alpha\beta = (\alpha^-\beta^-)^- αβ=(α−β−)−, β α = ( β − α − ) − \beta\alpha = (\beta^-\alpha^-)^- βα=(β−α−)−,由 R + R^+ R+中交换律可知 α − β − = β − α − \alpha^-\beta^- = \beta^-\alpha^- α−β−=β−α−,于是有
α β = β α \alpha\beta = \beta\alpha αβ=βα
以上,我们便证明了
α β = β α \alpha\beta = \beta\alpha αβ=βα
结合律
当 α \alpha α, β \beta β与 γ \gamma γ中至少有一个为 0 ∗ 0^* 0∗时,由乘法第1条规则可知,这时有 ( α β ) γ = 0 ∗ (\alpha\beta)\gamma = 0^* (αβ)γ=0∗, α ( β γ ) = 0 ∗ \alpha(\beta\gamma) = 0^* α(βγ)=0∗,于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
当 α \alpha α, β \beta β与 γ \gamma γ都不为 0 ∗ 0^* 0∗时,分以下8种情况:
- 当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时适应 R + R^+ R+中的乘法规则,之前已经证明了是满足结合律的,也就是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( ( α β ) γ − ) − (\alpha\beta)\gamma = ((\alpha\beta)\gamma^-)^- (αβ)γ=((αβ)γ−)−, α ( β γ ) = α ( β γ − ) − = ( α ( β γ − ) ) − \alpha(\beta\gamma) = \alpha(\beta\gamma^-)^- = (\alpha(\beta\gamma^-))^- α(βγ)=α(βγ−)−=(α(βγ−))−,由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α β ) γ − = α ( β γ − ) (\alpha\beta)\gamma^- = \alpha(\beta\gamma^-) (αβ)γ−=α(βγ−),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( α β − ) − γ = ( ( α β − ) γ ) − (\alpha\beta)\gamma = (\alpha\beta^-)^-\gamma = ((\alpha\beta^-)\gamma)^- (αβ)γ=(αβ−)−γ=((αβ−)γ)−, α ( β γ ) = α ( β − γ ) − = ( α ( β − γ ) ) − \alpha(\beta\gamma) = \alpha(\beta^-\gamma)^- = (\alpha(\beta^-\gamma))^- α(βγ)=α(β−γ)−=(α(β−γ))−,由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α β − ) γ = α ( β − γ ) (\alpha\beta^-)\gamma = \alpha(\beta^-\gamma) (αβ−)γ=α(β−γ),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( α β − ) − γ = ( α β − ) γ − (\alpha\beta)\gamma = (\alpha\beta^-)^-\gamma = (\alpha\beta^-)\gamma^- (αβ)γ=(αβ−)−γ=(αβ−)γ−, α ( β γ ) = α ( β − γ − ) \alpha(\beta\gamma) = \alpha(\beta^-\gamma^-) α(βγ)=α(β−γ−),由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α β − ) γ − = α ( β − γ − ) (\alpha\beta^-)\gamma^- = \alpha(\beta^-\gamma^-) (αβ−)γ−=α(β−γ−),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( α − β ) − γ = ( ( α − β ) γ ) − (\alpha\beta)\gamma = (\alpha^-\beta)^-\gamma = ((\alpha^-\beta)\gamma)^- (αβ)γ=(α−β)−γ=((α−β)γ)−, α ( β γ ) = ( α − ( β γ ) ) − \alpha(\beta\gamma) = (\alpha^-(\beta\gamma))^- α(βγ)=(α−(βγ))−,由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α − β ) γ = α − ( β γ ) (\alpha^-\beta)\gamma = \alpha^-(\beta\gamma) (α−β)γ=α−(βγ),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( α − β ) − γ = ( α − β ) γ − (\alpha\beta)\gamma = (\alpha^-\beta)^-\gamma = (\alpha^-\beta)\gamma^- (αβ)γ=(α−β)−γ=(α−β)γ−, α ( β γ ) = α ( β γ − ) − = α − ( β γ − ) \alpha(\beta\gamma) = \alpha(\beta\gamma^-)^- = \alpha^-(\beta\gamma^-) α(βγ)=α(βγ−)−=α−(βγ−),由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α − β ) γ − = α − ( β γ − ) (\alpha^-\beta)\gamma^- = \alpha^-(\beta\gamma^-) (α−β)γ−=α−(βγ−),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( α − β − ) γ (\alpha\beta)\gamma = (\alpha^-\beta^-)\gamma (αβ)γ=(α−β−)γ, α ( β γ ) = α ( β − γ ) − = α − ( β − γ ) \alpha(\beta\gamma) = \alpha(\beta^-\gamma)^- = \alpha^-(\beta^-\gamma) α(βγ)=α(β−γ)−=α−(β−γ),由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α − β − ) γ = α − ( β − γ ) (\alpha^-\beta^-)\gamma = \alpha^-(\beta^-\gamma) (α−β−)γ=α−(β−γ),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
- 当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 ( α β ) γ = ( α − β − ) γ = ( ( α − β − ) γ − ) − (\alpha\beta)\gamma = (\alpha^-\beta^-)\gamma = ((\alpha^-\beta^-)\gamma^-)^- (αβ)γ=(α−β−)γ=((α−β−)γ−)−, α ( β γ ) = α ( β − γ − ) = ( α − ( β − γ − ) ) − \alpha(\beta\gamma) = \alpha(\beta^-\gamma^-) = (\alpha^-(\beta^-\gamma^-))^- α(βγ)=α(β−γ−)=(α−(β−γ−))−,由 R + R^+ R+中结合律可知 ( α − β − ) γ − = α − ( β − γ − ) (\alpha^-\beta^-)\gamma^- = \alpha^-(\beta^-\gamma^-) (α−β−)γ−=α−(β−γ−),于是有
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
以上,我们便证明了
( α β ) γ = α ( β γ ) (\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma) (αβ)γ=α(βγ)
乘法单位元
R R R中的乘法单位元还是 1 ∗ 1^* 1∗,下面来证明 α 1 ∗ = α \alpha1^* = \alpha α1∗=α。
当 α \alpha α为 0 ∗ 0^* 0∗时,由乘法的第一条规则,我们知道 α 1 ∗ = α \alpha1^* = \alpha α1∗=α成立。
当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗时,这时适用 R + R^+ R+中乘法规则,之前已经证明 R + R^+ R+中 α 1 ∗ = α \alpha1^* = \alpha α1∗=α成立。
当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗时, α 1 ∗ = ( α − 1 ∗ ) − = ( α − ) − = α \alpha1^* = (\alpha^-1^*)^- = (\alpha^-)^- = \alpha α1∗=(α−1∗)−=(α−)−=α,于是 α 1 ∗ = α \alpha1^* = \alpha α1∗=α成立。
以上,我们便证明了
α 1 ∗ = α \alpha1^* = \alpha α1∗=α
乘法逆元
在 R + R^+ R+中定义了乘法逆元之后,我们结合加法负元的性质,便可以将乘法逆元扩展到 R R R中:
- 对于 0 ∗ 0^* 0∗,没有乘法逆元;
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R且 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗,于是 α ∈ R + \alpha \in R^+ α∈R+,规则其乘法逆元即是其在 R + R^+ R+中的乘法逆元;
- 对于 α ∈ R \alpha \in R α∈R且 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗,于是 α − > 0 \alpha^- > 0 α−>0,规则其乘法逆元为 ( ( α − ) − 1 ) − ((\alpha^-)^{-1})^- ((α−)−1)−。
由以上定义可知,除 0 ∗ 0^* 0∗没有乘法逆元外,其它 R R R中的元素的乘法逆元还是 R R R中的元素。
下面我们来证明 α α − 1 = 1 ∗ \alpha\alpha^{-1} = 1^* αα−1=1∗。
当 α > 0 \alpha > 0 α>0时,此时 α ∈ R + \alpha \in R^+ α∈R+,之前已经证明了在 R + R^+ R+中 α α − 1 = 1 ∗ \alpha\alpha^{-1} = 1^* αα−1=1∗是成立的。
当 α < 0 \alpha < 0 α<0时, α α − 1 = α ( ( α − ) − 1 ) − = α − ( α − ) − 1 = 1 ∗ \alpha\alpha^{-1} = \alpha((\alpha^-)^{-1})^- = \alpha^-(\alpha^-)^{-1} = 1^* αα−1=α((α−)−1)−=α−(α−)−1=1∗,于是 α α − 1 = 1 ∗ \alpha\alpha^{-1} = 1^* αα−1=1∗是成立的。
以上,我们便证明了
α α − 1 = 1 ∗ \alpha\alpha^{-1} = 1^* αα−1=1∗
满足乘法与序公理
由于 R R R中乘法在 R + R^+ R+中就是使用的 R + R^+ R+的乘法规则,而乘法与序公理只涉及 R + R^+ R+中的元素,故在 R + R^+ R+中证明便是适用于 R R R的,不再需要重新证明。
满足乘法与加法的分配律
这里取任意 α \alpha α, β \beta β, γ ∈ R \gamma \in R γ∈R,下面我们来证明对于 R R R中乘法与加法满足分配律,也就是证明下式成立。
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α = 0 ∗ \alpha = 0^* α=0∗时,显然有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α ≠ 0 ∗ \alpha \not = 0^* α=0∗,而 β = 0 ∗ \beta = 0^* β=0∗或者 γ = 0 ∗ \gamma = 0^* γ=0∗时,显然有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,此时由 R + R^+ R+中分配律可知有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 γ − > 0 ∗ \gamma^- > 0^* γ−>0∗,有以下情况:
- 若 β + γ = 0 ∗ \beta + \gamma = 0^* β+γ=0∗,有 α ( β + γ ) = 0 ∗ \alpha(\beta + \gamma) = 0^* α(β+γ)=0∗,还有 β = γ − \beta = \gamma^- β=γ−,于是 α β + α γ = α γ − + α γ = α γ − + ( α γ − ) − = 0 ∗ \alpha\beta + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + (\alpha\gamma^-)^- = 0^* αβ+αγ=αγ−+αγ=αγ−+(αγ−)−=0∗,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ > 0 ∗ \beta + \gamma > 0^* β+γ>0∗,有 β = ( β + γ ) + γ − \beta = (\beta + \gamma) + \gamma^- β=(β+γ)+γ−,于是 α β = α ( ( β + γ ) + γ − ) = α ( β + γ ) + α γ − \alpha\beta = \alpha((\beta + \gamma) + \gamma^-) = \alpha(\beta + \gamma) + \alpha\gamma^- αβ=α((β+γ)+γ−)=α(β+γ)+αγ−,于是 α β + ( α γ − ) − = α ( β + γ ) \alpha\beta + (\alpha\gamma^-)^- = \alpha(\beta + \gamma) αβ+(αγ−)−=α(β+γ),又 α γ = ( α γ − ) − \alpha\gamma = (\alpha\gamma^-)^- αγ=(αγ−)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ < 0 ∗ \beta + \gamma < 0^* β+γ<0∗,有 ( β + γ ) − > 0 ∗ (\beta + \gamma)^- > 0^* (β+γ)−>0∗,由于 γ − = β − + γ − + β \gamma^- = \beta^- + \gamma^- + \beta γ−=β−+γ−+β,于是 γ − = ( β + γ ) − + β \gamma^- = (\beta + \gamma)^- + \beta γ−=(β+γ)−+β,于是 α γ − = α ( β + γ ) − + α β \alpha\gamma^- = \alpha(\beta + \gamma)^- + \alpha\beta αγ−=α(β+γ)−+αβ,于是 ( α ( β + γ ) − ) − = ( α γ − ) − + α β (\alpha(\beta + \gamma)^-)^- = (\alpha\gamma^-)^- + \alpha\beta (α(β+γ)−)−=(αγ−)−+αβ,又 α ( β + γ ) = ( α ( β + γ ) − ) − \alpha(\beta + \gamma) = (\alpha(\beta + \gamma)^-)^- α(β+γ)=(α(β+γ)−)−, α γ = ( α γ − ) − \alpha\gamma = (\alpha\gamma^-)^- αγ=(αγ−)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时有 β − > 0 ∗ \beta^- > 0^* β−>0∗,有以下情况:
- 若 β + γ = 0 ∗ \beta + \gamma = 0^* β+γ=0∗,有 α ( β + γ ) = 0 ∗ \alpha(\beta + \gamma) = 0^* α(β+γ)=0∗,还有 β = γ − \beta = \gamma^- β=γ−,于是 α β + α γ = α γ − + α γ = α γ − + ( α γ − ) − = 0 ∗ \alpha\beta + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + (\alpha\gamma^-)^- = 0^* αβ+αγ=αγ−+αγ=αγ−+(αγ−)−=0∗,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ > 0 ∗ \beta + \gamma > 0^* β+γ>0∗,有 γ = ( β + γ ) + β − \gamma = (\beta + \gamma) + \beta^- γ=(β+γ)+β−,于是 α γ = α ( ( β + γ ) + β − ) = α ( β + γ ) + α β − \alpha\gamma = \alpha((\beta + \gamma) + \beta^-) = \alpha(\beta + \gamma) + \alpha\beta^- αγ=α((β+γ)+β−)=α(β+γ)+αβ−,于是 α γ + ( α β − ) − = α ( β + γ ) \alpha\gamma + (\alpha\beta^-)^- = \alpha(\beta + \gamma) αγ+(αβ−)−=α(β+γ),又 α β = ( α β − ) − \alpha\beta = (\alpha\beta^-)^- αβ=(αβ−)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ < 0 ∗ \beta + \gamma < 0^* β+γ<0∗,有 ( β + γ ) − > 0 ∗ (\beta + \gamma)^- > 0^* (β+γ)−>0∗,由于 β − = β − + γ − + γ \beta^- = \beta^- + \gamma^- + \gamma β−=β−+γ−+γ,于是 β − = ( β + γ ) − + γ \beta^- = (\beta + \gamma)^- + \gamma β−=(β+γ)−+γ,于是 α β − = α ( β + γ ) − + α γ \alpha\beta^- = \alpha(\beta + \gamma)^- + \alpha\gamma αβ−=α(β+γ)−+αγ,于是 ( α ( β + γ ) − ) − = ( α β − ) − + α γ (\alpha(\beta + \gamma)^-)^- = (\alpha\beta^-)^- + \alpha\gamma (α(β+γ)−)−=(αβ−)−+αγ,又 α ( β + γ ) = ( α ( β + γ ) − ) − \alpha(\beta + \gamma) = (\alpha(\beta + \gamma)^-)^- α(β+γ)=(α(β+γ)−)−, α β = ( α β − ) − \alpha\beta = (\alpha\beta^-)^- αβ=(αβ−)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α > 0 ∗ \alpha > 0^* α>0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 β + γ < 0 ∗ \beta + \gamma < 0^* β+γ<0∗, ( β + γ ) − > 0 ∗ (\beta + \gamma)^- > 0^* (β+γ)−>0∗, β − > 0 ∗ \beta^- > 0^* β−>0∗, γ − > 0 ∗ \gamma^- > 0^* γ−>0∗,于是 α ( β − + γ − ) = α β − + α γ − \alpha(\beta^- + \gamma^-) = \alpha\beta^- + \alpha\gamma^- α(β−+γ−)=αβ−+αγ−,于是 α ( β + γ ) − = α β − + α γ − \alpha(\beta + \gamma)^- = \alpha\beta^- + \alpha\gamma^- α(β+γ)−=αβ−+αγ−,于是 ( α β − ) − + ( α γ − ) − = ( α ( β + γ ) − ) − (\alpha\beta^-)^- + (\alpha\gamma^-)^- = (\alpha(\beta + \gamma)^-)^- (αβ−)−+(αγ−)−=(α(β+γ)−)−,又 α β = ( α β − ) − \alpha\beta = (\alpha\beta^-)^- αβ=(αβ−)−, α γ = ( α γ − ) − \alpha\gamma = (\alpha\gamma^-)^- αγ=(αγ−)−, α ( β + γ ) = ( α ( β + γ ) − ) − \alpha(\beta + \gamma) = (\alpha(\beta + \gamma)^-)^- α(β+γ)=(α(β+γ)−)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时有 α − > 0 ∗ \alpha^- > 0^* α−>0∗, β + γ > 0 ∗ \beta + \gamma > 0^* β+γ>0∗,于是 α − ( β + γ ) = α − β + α − γ \alpha^-(\beta + \gamma) = \alpha^-\beta + \alpha^-\gamma α−(β+γ)=α−β+α−γ,于是 ( α − β ) − + ( α − γ ) − = ( α − ( β + γ ) ) − (\alpha^-\beta )^-+ (\alpha^-\gamma)^- = (\alpha^-(\beta + \gamma))^- (α−β)−+(α−γ)−=(α−(β+γ))−,又 α β = ( α − β ) − \alpha\beta = (\alpha^-\beta)^- αβ=(α−β)−, α γ = ( α − γ ) − \alpha\gamma = (\alpha^-\gamma)^- αγ=(α−γ)−, α ( β + γ ) = ( α − ( β + γ ) ) − \alpha(\beta + \gamma) = (\alpha^-(\beta + \gamma))^- α(β+γ)=(α−(β+γ))−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β > 0 ∗ \beta > 0^* β>0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 α − > 0 ∗ \alpha^- > 0^* α−>0∗, γ − > 0 ∗ \gamma^- > 0^* γ−>0∗,有以下情况:
- 若 β + γ = 0 ∗ \beta + \gamma = 0^* β+γ=0∗,有 α ( β + γ ) = 0 ∗ \alpha(\beta + \gamma) = 0^* α(β+γ)=0∗,还有 β = γ − \beta = \gamma^- β=γ−,于是 α β + α γ = α γ − + α γ = α γ − + ( α γ − ) − = 0 ∗ \alpha\beta + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + (\alpha\gamma^-)^- = 0^* αβ+αγ=αγ−+αγ=αγ−+(αγ−)−=0∗,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ > 0 ∗ \beta + \gamma > 0^* β+γ>0∗,有 β = ( β + γ ) + γ − \beta = (\beta + \gamma) + \gamma^- β=(β+γ)+γ−,于是 α − β = α − ( ( β + γ ) + γ − ) = α − ( β + γ ) + α − γ − \alpha^-\beta = \alpha^-((\beta + \gamma) + \gamma^-) = \alpha^-(\beta + \gamma) + \alpha^-\gamma^- α−β=α−((β+γ)+γ−)=α−(β+γ)+α−γ−,于是 ( α − ( β + γ ) ) − = ( α − β ) − + α − γ − (\alpha^-(\beta + \gamma))^- = (\alpha^-\beta)^- + \alpha^-\gamma^- (α−(β+γ))−=(α−β)−+α−γ−,又 α ( β + γ ) = ( α − ( β + γ ) ) − \alpha(\beta + \gamma) = (\alpha^-(\beta + \gamma))^- α(β+γ)=(α−(β+γ))−, α β = ( α − β ) − \alpha\beta = (\alpha^-\beta)^- αβ=(α−β)−, α γ = α − γ − \alpha\gamma = \alpha^-\gamma^- αγ=α−γ−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ < 0 ∗ \beta + \gamma < 0^* β+γ<0∗,有 ( β + γ ) − > 0 ∗ (\beta + \gamma)^- > 0^* (β+γ)−>0∗,由于 γ − = β − + γ − + β \gamma^- = \beta^- + \gamma^- + \beta γ−=β−+γ−+β,于是 γ − = ( β + γ ) − + β \gamma^- = (\beta + \gamma)^- + \beta γ−=(β+γ)−+β,于是 α − γ − = α − ( β + γ ) − + α − β \alpha^-\gamma^- = \alpha^-(\beta + \gamma)^- + \alpha^-\beta α−γ−=α−(β+γ)−+α−β,于是 α − γ − + ( α − β ) − = α − ( β + γ ) − \alpha^-\gamma^- + (\alpha^-\beta)^- = \alpha^-(\beta + \gamma)^- α−γ−+(α−β)−=α−(β+γ)−,又 α ( β + γ ) = α − ( β + γ ) − \alpha(\beta + \gamma) = \alpha^-(\beta + \gamma)^- α(β+γ)=α−(β+γ)−, α γ = α − γ − \alpha\gamma = \alpha^-\gamma^- αγ=α−γ−, α β = ( α − β ) − \alpha\beta = (\alpha^-\beta)^- αβ=(α−β)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ > 0 ∗ \gamma > 0^* γ>0∗时,这时有 α − > 0 ∗ \alpha^- > 0^* α−>0∗, β − > 0 ∗ \beta^- > 0^* β−>0∗,有以下情况:
- 若 β + γ = 0 ∗ \beta + \gamma = 0^* β+γ=0∗,有 α ( β + γ ) = 0 ∗ \alpha(\beta + \gamma) = 0^* α(β+γ)=0∗,还有 β = γ − \beta = \gamma^- β=γ−,于是 α β + α γ = α γ − + α γ = α γ − + ( α γ − ) − = 0 ∗ \alpha\beta + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + \alpha\gamma = \alpha\gamma^- + (\alpha\gamma^-)^- = 0^* αβ+αγ=αγ−+αγ=αγ−+(αγ−)−=0∗,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ > 0 ∗ \beta + \gamma > 0^* β+γ>0∗,有 γ = ( β + γ ) + β − \gamma = (\beta + \gamma) + \beta^- γ=(β+γ)+β−,于是 α − γ = α − ( ( β + γ ) + β − ) = α − ( β + γ ) + α − β − \alpha^-\gamma = \alpha^-((\beta + \gamma) + \beta^-) = \alpha^-(\beta + \gamma) + \alpha^-\beta^- α−γ=α−((β+γ)+β−)=α−(β+γ)+α−β−,于是 ( α − ( β + γ ) ) − = α − β − + ( α − γ ) − (\alpha^-(\beta + \gamma))^- = \alpha^-\beta^- + (\alpha^-\gamma)^- (α−(β+γ))−=α−β−+(α−γ)−,又 α ( β + γ ) = ( α − ( β + γ ) ) − \alpha(\beta + \gamma) = (\alpha^-(\beta + \gamma))^- α(β+γ)=(α−(β+γ))−, α γ = ( α − γ ) − \alpha\gamma = (\alpha^-\gamma)^- αγ=(α−γ)−, α β = α − β − \alpha\beta = \alpha^-\beta^- αβ=α−β−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
- 若 β + γ < 0 ∗ \beta + \gamma < 0^* β+γ<0∗,有 ( β + γ ) − > 0 ∗ (\beta + \gamma)^- > 0^* (β+γ)−>0∗,由于 β − = β − + γ − + γ \beta^- = \beta^- + \gamma^- + \gamma β−=β−+γ−+γ,于是 β − = ( β + γ ) − + γ \beta^- = (\beta + \gamma)^- + \gamma β−=(β+γ)−+γ,于是 α − β − = α − ( β + γ ) − + α − γ \alpha^-\beta^- = \alpha^-(\beta + \gamma)^- + \alpha^-\gamma α−β−=α−(β+γ)−+α−γ,于是 α − β − + ( α − γ ) − = α − ( β + γ ) − \alpha^-\beta^- + (\alpha^-\gamma)^- = \alpha^-(\beta + \gamma)^- α−β−+(α−γ)−=α−(β+γ)−,又 α ( β + γ ) = α − ( β + γ ) − \alpha(\beta + \gamma) = \alpha^-(\beta + \gamma)^- α(β+γ)=α−(β+γ)−, α β = α − β − \alpha\beta = \alpha^-\beta^- αβ=α−β−, α γ = ( α − γ ) − \alpha\gamma = (\alpha^-\gamma)^- αγ=(α−γ)−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
当 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗, β < 0 ∗ \beta < 0^* β<0∗, γ < 0 ∗ \gamma < 0^* γ<0∗时,这时有 β + γ < 0 ∗ \beta + \gamma < 0^* β+γ<0∗, ( β + γ ) − > 0 ∗ (\beta + \gamma)^- > 0^* (β+γ)−>0∗, α − > 0 ∗ \alpha^- > 0^* α−>0∗, β − > 0 ∗ \beta^- > 0^* β−>0∗, γ − > 0 ∗ \gamma^- > 0^* γ−>0∗,由于 α − ( β − + γ − ) = α − β − + α − γ − \alpha^-(\beta^- + \gamma^-) = \alpha^-\beta^- + \alpha^-\gamma^- α−(β−+γ−)=α−β−+α−γ−,于是 α − ( β + γ ) − = α − β − + α − γ − \alpha^-(\beta + \gamma)^- = \alpha^-\beta^- + \alpha^-\gamma^- α−(β+γ)−=α−β−+α−γ−,又 α ( β + γ ) = α − ( β + γ ) − \alpha(\beta + \gamma) = \alpha^-(\beta + \gamma)^- α(β+γ)=α−(β+γ)−, α β = α − β − \alpha\beta = \alpha^-\beta^- αβ=α−β−, α γ = α − γ − \alpha\gamma = \alpha^-\gamma^- αγ=α−γ−,于是有
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
综上,我们证明了
α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ