一文带你看懂~混沌理论

写在前面：写好发布的文档，突然被替换成了以前草稿的版本，而且本地没有备份，只能从新总结。大家写论文一定要记得备份。

一、引言：

相信大家听过这样一个实验：量子薛定谔的猫。

实验是这样的:在一个普通盒子里有一只小花猫，以及少量放射性物质。之后，有50%的概率放射性物质将会衰变并释放出毒气杀死这只小花猫，同时有50%的概率放射性物质不会衰变而猫将活下来。

根据经典物理学，在盒子里必将发生这两个结果之一，而外部观测者只有打开盒子才能知道里面的结果。在量子的世界里，当盒子处于关闭状态，整个系统则一直保持不确定性的波态，即猫生死叠加。

通俗的说，在没打开盒子之前，外部观测者是无法知道猫的生与死，只有打开之后才知道，所以说对于外部观测者来说，猫处于生死叠加的状态，也可以理解为，猫有可能死，猫有可能活。
"薛定谔的猫"是由奥地利物理学家薛定谔于1935年提出的有关猫生死叠加 的著名思想实验，是把微观领域的量子行为扩展到宏观世界的推演。

从上面的虐猫实验，我们知道了，
（1）猫的生死，受射物质的初始浓度影响
（2）我们对猫生死结果的判定，依赖于我们最后的观测
（3）猫的生死，和它在暗箱里和放射源的作用有一定关系

二、发展：

寻找混沌理论的规律，经历了四个大流程：

图灵数学与生命形态：提出自组织
别洛乌索夫的BZ振荡反应：自组织振荡现象
洛伦兹天气系统无法预测：蝴蝶效应
曼德勃罗集的分形理论：一切复杂源于简单规则。

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我们所处的自然界真的是一片混乱，充满各种奇怪的形态和纹理，毫无规律可循。一切都是无法形容的多样化，一切没什么是完全重复的。

图灵认为，这些混乱的背后，隐藏着一些数学规则，而且，我们可以计算与模拟出这种规则。生命，可以用简单的数学描述来表示！图灵的观点认为是：生命的任何形态，万变不离其宗，究其本质，都是简单的数学过程，并且演变出来。（历史会重演）

别洛乌索夫神奇地发现：试验台上的溶液，摇晃的时候是澄清无色的，加入最后一种化学物质时，整个溶液变色了，但随后发生的事却不合常理，混合溶液再一次变得澄清。别洛乌索夫的混合溶液在培养皿中，无须人工干预它，溶液能自组织形成各种图案，溶液反应振荡出许多效果。溶液以协调波的形式运动，自组织在整个自然界随处可见。（市场行为包容一切）

20世纪60年代早期，洛伦兹试图找到可以预测天气的数学方程，与那个时代的所有人一样，他相信，气象系统原理上与星象仪无异，都是可以用数学描述和预测的机械系统。但事实并非如此，当洛伦兹用看似很简单的数学方程来描述气流运动时，所得结果与实际大相径庭。没有获得任何有用的预测。混沌理论的发现，是科学史上真正的转折点，它撕碎了牛顿学说的美梦，科学家们开始偏好图灵和别洛乌索夫关于自发模型形成的学说。洛伦兹方程中，平衡点将失稳发展成为奇怪的吸引子。

从20世纪70年代起，越来越多的科学家开始接受混沌与模式是自然界最基本规则这一观念。曼德勃罗意识到了自相似性是一种全新几何学的基础，甚至给它命名为：分形体。自然界就是这样重复着各种图形。

集合里的每个图形，都包含了无限多个更小的图形，子曼德勃罗集们会无限循环下去。所有复杂都来源于一个简单的难以置信的方程：
Z=Z^2+C
它有一个非常重要的性质，就是反馈到自身。这种反馈意味着一个极其简单的数学公式可以产生无限复杂的图片。

从图灵天才发现数字模拟的生命，生命的任何形态都是源于简单的数字方程，提出混沌理论的第一步。别洛乌索夫的探索，BZ振荡反应溶液拓展到生命的心跳与皮肤的生长，都源于自组织的自发性。验证混沌现象，在不受到外部任何条件因素干扰的情况下，也可能发生自发无序变化或自发有序变化。洛伦兹方程式，计算天气系统的无法预测性，提出蝴蝶效应，让科学界接受了混沌理论！曼德勃罗，最简单的方程演化的曼德勃罗集图案，源于“上帝指纹”的事实证明：一切复杂源于简单。

三、定义：

3.1.那么，究竟什么是混沌呢？

我们来看科学家给混沌下的定义
混沌是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。

简单来说：混沌是一种确定性随机性，即确定性系统内在产生的随机性

混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

3.2.特点：

（1）确定性下的内在随机性：
一切混沌系统都呈现出类似随机运动的特点，从确定性非线性系统的演化过程看他们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。然而这种部确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。

（2）长期行为的不可预见性
由于其内在非线性机制造成对初值的敏感依赖性，混沌系统的长期行为是不可预测的任何实际系统的初始条件都不可能绝对精确地确定，误差是不可避免的。

（3）初值敏感性：
对于没有内在随机性的系统，只要两个初始值足够接近从他们出发的两条轨线在整个系统溟过程中都将保持足够接近，但是对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够远”,表现出对初值的极端敏感，即所谓“失之毫厘，谬之千里。”

（4）貌似无序的高级有序性
混沌绝不是简单地无序，而是被无序掩盖着的高级有序，貌似无序的复杂有序，有人称其为混沌序。混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态，确定性的非线性系统的控制参量按一定方向部断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。

世上大多数的随机系统，只不过是一个无法精确测定输入值的混沌系统所产生的表象。真正的随机是量子态。

3.3.混沌、随机的关系：

目前人类认知和影响世界的程度个人感觉可以分为三个层次：

可控：有确定因果而且可通过数学进行精准计算预测的现象。属于确定、可理解、可精准控制，包含了今天几乎所有的自然科学和由此衍生的技术领域；（这是西方人喜欢玩的层次）

混沌：有确定因果但无法通过数学进行精准计算预测的现象。原因就是初值敏感和模型复杂导致，属于确定、可理解但不可精准预测控制，只能通过经验累积和概率机制来进行宏观控制，例如医学、经济学、社会学、大气科学、社会人际行为、三体问题等等；（这是我们最兴奋的领域）

真随机：无确定因果，只感受到果但看不到（即现有人类认知体系无法感知测量）因的现象，属于完全不可理解，因已经完全超出我们的认知框架，目前可知的就是微观量子态，估计因不在我们这个时空，存在于另外一个维度，上帝在玩骰子，我们看不到。

按照目前最前沿的物理学成果，我们的世界有可能是这样的：

1、无厘的源头：支撑世界最底层最微观的是真随机过程，即量子态，这个层次是各类最基本的微观粒子，瞬生瞬灭，忽涨忽落，毫无道理和因果。

2、基础的规则：这些微观粒子搞在一起竟然瞬间形成了稳定的时空，确定的因果，呈现出我们今天看到的自然科学的各种基础规律，让我们孜孜不倦的去归纳、总结、实证，进而来控制。

3、花花的世界：这些确定的基础规律乱七八糟纠缠在一起相互影响和作用就形成了我们当下的现实世界，而且必须高度复杂、高度混乱来在宏观上呈现出混沌态，让我们觉得人生还是有意义的，否则一个公式就能算命了，都别玩了。

再扯淡一点，站在人的角度来看，我感觉混沌和真随机就是上帝为了让我们感觉这个世界是有趣的而特意搞的把戏，同时也防止我们彻底参透。因为真随机让我们感觉到了这个世界的边界，而混沌让我们感觉到了未知和好奇。

从一个系统的内部视角来看，随机的本质是系统信息边界，是真不确定；而混沌的本质是概率，是伪不确定，但它让时间变得有意义。

四、意义：

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

混沌消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。
（1）首先一点就是未来无法确定。
（2）事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。
这是混沌理论两个基本的概念。

混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，
（1）能量永远会遵循阻力最小的途径
（2）始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。
（3）这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。

混沌理论改变了经典物理学的世界观。经典力学假设牛顿力学是决定性的、可测量和可预测的。本世纪物理学的两次重大变革——相对论和量子力学，相对论消除了绝对空间与时间的幻象，即牛顿式的幻象。量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦。

混沌表明决定性规律所产生的一条混沌轨道是如此的复杂，如掷骰子那样随机，不可能长期预测。这意味着不能以无限和精度无限长时间测量和计算连续变量。这从根本粉碎了拉普拉斯(Laplace) 关于决定论的完全可预测性。混沌理论帮助我们打破固有思维，再次深刻认识世界上一切矛盾体之间既对立又统一的辩证关系。

混沌理论对牛顿力学的致使打击是从研究非线性力学中得到的。它使人们认识到牛顿力学既是确定论的又是随机论的。另外，由耗散结构理论提出的内部时间概念，由分形理论得到混沌吸引子的空间分维概念，又将引起对牛顿力学的时空观的新认识。它将指导我们在自然科学领域和社会科学领域进行更深入的研究。同时我们也应主动将混沌理论与自身专业领域结合起来，以期有新的发现和新的突破。

五、应用：

混沌应用可分为混沌综合和混沌分析。

前者利用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的功能，如人工神经网络的联想记忆等；
后者分析由复杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏的确定性规则，如时间序列数据的非线性确定性预测等。

混沌的具体的潜在应用可概括如下：

1.优化：利用混沌运动的随机性、遍历性和规律性寻找最优点，可用于系统辨识、最优参数设计等众多方面。

2.神经网络：将混沌与神经网络相融合，使神经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网络逃离局部极小点，从而保证全局最优，可用于联想记忆、机器人的路径规划等。

3.图像数据压缩：把复杂的图像数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替，这样只需记忆存储这一组动力学方程组的参数，其数据量比原始图像数据大大减少，从而实现了图像数据压缩。

4.高速检索：利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初值的同时，将要检索的数据和刚进入混沌状态的值相比较，检索出接近于待检索数据的状态。这种方法比随机检索或遗传算法具有更高的检索速度。

5.非线性时间序列的预测：任何一个时间序列都可以看成是一个由非线性机制确定的输入输出系统，如果不规则的运动现象是一种混沌现象，则通过利用混沌现象的决策论非线性技术就能高精度地进行短期预测。

6.模式识别：利用混沌轨迹对初始条件的敏感性，有可能使系统识别出只有微小区别的不同模式。

7.经济混沌的定性预测和经济系统的定量预测：运用混沌理论研究包括财政、金融在内的经济和管理问题，特别是有关证券市场股价指数、汇率变化方面问题。

8.故障诊断: 根据由时间序列再构成的吸引子的集合特征和采样时间序列数据相比较 ,可以进行故障诊断。

9.混沌理论在电力、机械系统中的应用：电力系统实质上是一个强非线性的大系统，在一定条件下完全会出现混沌，其宏观上表现为无规则的机电振荡，严重时甚至会导致互联系统解列，混沌现象貌似随机的性质使得大多数电力系统分析和控制方法变得很不可靠。

机械系统中混沌现象是普遍地存在的。目前对机械系统中混沌的研究仍处于初始阶段，即主要集中在发现混沌现象的阶段。研究机械系统中混沌的最终目的是分析其对机械系统的正面和负面影响, 进而采取相应的措施, 利用或抑制混沌。因而, 如何克服、控制机械系统中混沌带来的危害, 以及如何利用混沌提高机械系统的效率、降低系统的能耗, 将是未来机械工程研究的一个重要方向。

六、总结

发展：

图灵提出自组织——>别罗索夫验证——>洛伦兹发现吸引子，SRB测度——>曼德布洛特发现分形

定义：

混沌是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则运动

特点：

（1）确定性下的内在随机性
（2）长期行为的不可预见性
（3）初值敏感性
（4）貌似无序的高级有序性

意义与启示：

（1）消除了牛顿决定论、以及衍生的宿命论思想。决定论不再是单个轨迹的规律演变，而是一个群体的整体发展。
（2）轨迹对初始条件的敏感性，会被统计特征的稳定性抵消，即整体结构具有SRB测度。
（3）微小事件不能改变概率，只能影响事情的发生顺序。