LSTM原理

LSTM是一种递归神经网络（RNN），用于处理序列数据。它具有比标准RNN更好的长期依赖性能力，这是通过使用称为“门控”机制的方法来实现的。

LSTM由四个主要部分组成：遗忘门（forget gate）、输入门（input gate）、单元状态（cell state）和输出门（output gate）。

在时间步$t$处，假设输入为$x_t$，前一时刻的隐藏状态为$h_{t-1}$，单元状态为$c_{t-1}$， LSTM的计算如下：

首先，计算遗忘门$f_t$，控制前一时刻单元状态的遗忘程度：

$$f_t=\sigma (W_f{x}_t+U_f{h}_{t-1}+b_f)$$

其中，$W_f$是输入$x_t$的权重矩阵，$U_f$是前一时刻隐藏状态$h_{t-1}$的权重矩阵，$b_f$是偏置向量，$\sigma$是sigmoid函数。

然后，计算输入门$i_t$，控制新信息的输入程度：

$$i_t=\sigma (W_i{x}_t+U_i{h}_{t-1}+b_i)$$

其中，$W_i$是输入$x_t$的权重矩阵，$U_i$是前一时刻隐藏状态$h_{t-1}$的权重矩阵，$b_i$是偏置向量，$\sigma$是sigmoid函数。

接下来，计算新单元状态$\widetilde{c_t}$，用于更新当前单元状态：

$$\widetilde{c_t}=\tanh (W_c{x}_t+U_c{h}_{t-1}+b_c)$$

其中，$W_c$是输入$x_t$的权重矩阵，$U_c$是前一时刻隐藏状态$h_{t-1}$的权重矩阵，$b_c$是偏置向量，$\tanh$是双曲正切函数。

最后，计算当前时刻的单元状态$c_t$，并更新隐藏状态$h_t$：

$$c_t=f_t\odot c_{t-1}+i_t\odot \widetilde{c_t}$$

$$h_t=o_t\odot \tanh (c_t)$$

其中，$\odot$表示逐元素乘积，$o_t$是输出门，用于控制输出程度：

$$o_t=\sigma (W_o{x}_t+U_o{h}_{t-1}+b_o)$$

其中，$W_o$是输入$x_t$的权重矩阵，$U_o$是前一时刻隐藏状态$h_{t-1}$的权重矩阵，$b_o$是偏置向量，$\sigma$是sigmoid函数。

LSTM通过门控机制控制信息的输入、输出和遗忘，从而有效地处理序列数据中的长期依赖关系。

在以上LSTM公式中，各变量的维度大小如下：

• $x_t$：输入序列的维度为 $(batch\_size,input\_size)$，其中 $batch\_size$ 表示输入的样本数， $input\_size$ 表示输入的每个特征的维度大小。
• $h_{t-1}$：隐藏状态的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，其中 $hidden\_size$ 表示隐藏状态的维度大小。
• $c_{t-1}$：单元状态的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与隐藏状态的维度相同。
• $W_f$：输入到遗忘门的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,input\_size)$。
• $U_f$：隐藏状态到遗忘门的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,hidden\_size)$。
• $b_f$：遗忘门的偏置向量的维度为 $(hidden\_size,)$。
• $f_t$：遗忘门的输出的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与隐藏状态的维度相同。
• $W_i$：输入到输入门的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,input\_size)$。
• $U_i$：隐藏状态到输入门的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,hidden\_size)$。
• $b_i$：输入门的偏置向量的维度为 $(hidden\_size,)$。
• $i_t$：输入门的输出的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与隐藏状态的维度相同。
• $\widetilde{c_t}$：新单元状态的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与隐藏状态的维度相同。
• $W_c$：输入到新单元状态的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,input\_size)$。
• $U_c$：隐藏状态到新单元状态的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,hidden\_size)$。
• $b_c$：新单元状态的偏置向量的维度为 $(hidden\_size,)$。
• $c_t$：当前单元状态的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与隐藏状态的维度相同。
• $o_t$：输出门的输出的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与隐藏状态的维度相同。
• $W_o$：输入到输出门的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,input\_size)$。
• $U_o$：隐藏状态到输出门的权重矩阵的维度为 $(hidden\_size,hidden\_size)$。
• $b_o$：输出门的偏置向量的维度为 $(hidden\_size,)$。
• $h_t$：当前隐藏状态的维度为 $(batch\_size,hidden\_size)$，与单元状态的维度相同。