matlab 数字滤波入门

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1. 时间序列分析入门
模拟与数字信号我们本身生活在一个模拟量的世界里，所谓模拟量，即连续变化量，屋里的温度是连续变化的，时间是连续变化的，诸如此类。而计算机是数字系统，他不能处理模拟量，而只能处理离散量，这意味着我们要把连续的模拟量进行采样，得到一系列离散的数字量。

Aliasing（混叠）
所有自然界的信号都不是很干净的，都会有噪声。下面是一个更接近真实的潮汐水位高度随时间变化的数据集：

如果我们对它采样，大概会得到这样：

用一条线把采样点连接起来，采集的到的数字波形可以看出明显的上下振动。由于高频噪声和原来的低频真实信号相叠加，最后采集出来的数据和原来的数据相比很难看。这是因为采样的频率远低于噪声信号的频率，Aliasing发生了。

避免AliasingAliasing
通常是有害但又不可能100%避免的
Nyquist Theorem
这个定理告诉我们，如果想要完整采集某个频率的信号，那么你至少要用2倍于该信号的最高频率的采样率来采集，否则 Aliasing就会发生。举个例子：如果你知道潮汐变化最短以一天为周期，那么你至少半天就需要采集一个潮汐水位变化。实际应用中，通常用更高（>2倍）的采样率去采集信号。
Anti-Aliasing Filters
除了提高采样率，另外一种避免Aliasing的方法是使用 Anti-Aliasing Filter. 通常在数字化之前使用一个low-pass filter把噪声滤掉即可。举例：采样之前安装一个低通滤波器，截止频率为10Hz. 那么你只需要一个20Hz的采样率就可以把你感兴趣的信号采集进来。高频噪声在采样之前就被模拟低通滤波器干掉了。
但是：一定要在数字化(采样)之前进行低通滤波(模拟低通滤波)。否则如果采样率不够，则必然发生Aliasing, 噪声会混进你感兴趣的低频信号中，这时候再采用数字低通滤波就没啥效果了。当然，如果你采样频率够高，那么采样进来后才进行数字低通滤波也是OK的。而且绝大多数应用就是这么干的。
RMS
RMS=root,mean,square. 用来描述信号质量。 计算方法: 一组数据，先平方，再求均值，最后开根。用matlab撸一个rms函数：建一个rms.m 写入以下内容：

产生一些随机数，然后计算他们的RMS:

2. FFT 傅里叶变换
傅里叶变换是信号处理里强大的工具，他可以帮助我们分析信号的频率成分，本文不会讲解傅里叶变化的数学原理，而会侧重matlab实践。fft和ifft(逆傅里叶变换)可以把信号进行时域和频域转换如下图。

所谓fft 就是把X轴从时间换成频率。 ifft,就是把X轴坐标从频率变成时间。
先用matlab产生一个100Hz正弦信号, 先产生时间序列。


下面准备开始fft， 使用matlab自带的fft函数就可以了，注意fft返回的一组复数，包含了频率成分和相位成分，我们要绝对值一把fft的结果：


如果仔细观察，发现定点的值是50，而我们sin波形的正弦信号幅度是1啊。。这是matlab fft返回结果定义的问题，我们只需要除以用于fft运算的采样点个数的一半即可：


好啦，Y轴顶点整成1啦。那么X轴怎么办呢，下面把X轴整成Hz…首先需要知道fft的频率分辨率为:

在我们的例子中， binwidth(频率分辨率) 就是1Hz.
频率分辨率是啥意思呢？ 顾名思义，就是FFT转换后频谱图上的X轴(频率)的最小细分单位。或者说频谱图上X轴的最小间隔。


当然我们还有最大的问题没有解决，明明是2Hz的信号怎么右面还有一个对称的？。。这个你就别问了，谜之数学！通常我们只取前面一半就好：

测量某一个频率成分信号的大小
之前说过，FFT变换的频率分辨率取决于信号采样频率和进入FFT函数的数据量。如果你有一个1000点的数据，原信号是8000Hz，那么频率分辨率就是8Hz
获得最大赋值对应的频率
通过fft很容易让我们知道赋值最大的信号频点在哪里：

3. 数字滤波器
数字滤波器用于滤掉一些不需要的频率信号。比如工频噪声(50Hz)正弦信号等。通常有两类滤波器:
FIR(有限冲击响应滤波器)
IIR(无限冲击响应滤波器)
本文侧重matlab应用，并不会涉及深奥的理论知识。
FIR filter
其实你可能之前用过FIR filter只不过没有意识到而已， moving average(滑动平均)滤波器就是FIR滤波器的一种。在一些应用中，有一个窗口，每一次新的数据进来都在窗口进行一次平局然后输出。

在这个滤波器中，可以看到每次把前三个数据进行平均(分别乘以0.33333)然后输出。 这三个系数的不同组合(0.3333, 0.333, 0.3333)就组成了各种FIR滤波器。这些系数叫做filter coefficients. 或者叫做taps. 在matlab中，他们叫做 b. 下面是一个moving average filter的 例子:


End Bit
问题你可能已经注意到了， 对于moving average filter 一开始滤波的时候没有之前的数据做平均， 这可咋整？ matlab的 filter函数是这么整的：filtered_data(2) = x(1)*0.2 + x(2)*0.2.总之，我们的5点滑动滤波的计算公式是：filtered_data(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + b(3)*x(n-2) + b(4)*x(n-3) + b(5)*x(n-4).可以想到，如果滤波器的阶数很大(N) 那么滤波后的数据要比原始信号"迟缓" 很多。。这叫做相位延时
通过FFT看滤波后的频率响应
我们把原始信号和滤波后信号用FFT搞一把:


可以看出，5点moving average filter会使高频分量衰减。这是一种low pass filter, 通低频，阻高频。
小知识
搞一个滑动平均滤波器的系数可以用下面的简便方法：
IIR filter
IR和FIR类似，不过进入了反馈机制。即下一次的滤波输出不仅仅和上几次的输入信号有关，还和上几次的输出信号有关。IIR比FIR"效率"更高，通常用更少的系数就可以达到很好的滤波结果，但是IIR也有缺点，由于引入了反馈机制，一些特定的系数组成的IIR滤波器可能不稳定，造成输出结果崩溃。
根据IIR滤波器的不同系数 有很多经典的IIR滤波器，什么Butterworth, Chebyshew, Bessel之类的，反正都是以牛人的名字命名的。本文只讨论一种滤波器：butterworth. 下面还是上例子：
先产生一个采样频率1000Hz， 2000个采样点的随机信号，然后用butter 滤一波：


butter 函数是matlab内置函数，输入截止频率和阶数，返回滤波器系数，b,a。 b 就跟FIR 一样的b(前馈系数)， a指的是后馈系数。

可以看出同样是5阶滤波，butter filter的滤波效果单从幅频响应来说 比moving average 好了不少。
IIR 滤波器原理
使用matlab的帮助文档，可以看到一个框图，介绍滤波器是如何工作的：输入信号为x(m). 对应的乘以每一个b系数。 在5点moving average filter的例子中，这个b 就是 0.2,0.2,0.2,0.2,0.2. 输出为y(m). 这样每一个x(m)乘上对应的系数然后再加在一起 组成了 y.IIR 滤波器引入了’a’ 系数反馈环节。 每一次滤波，上一次的输出也要程序对应的系数a 然后减到本次输出中：
y(n)=b(1)*x(n)+b(2)*x(n-1)+ … + b(n)*x(n) - a(2)y(n-1) - a(3)*y(n-2)…

4. 自动信号检测
信号检测指的是在带有噪声的信号中发掘有用信号。
能量检测器一般的能量检测器包含以下步骤：
1.对信号进行滤波，将有用信号提取出来
2.对信号进行整流
3.对整流过的信号进行包络
4.设置阈值，检测有用信号
还是一个例子, 这次我们把一个正弦信号，藏 在噪声信号中的一个随机位置:


step1: 对信号进行滤波, 将有用信号提取出来， 我们搞一个 带宽为10Hz的 带通滤波器，中心频点设置在需要提取的正弦信号位置，这一波操作代码如下：

step2: 整流信号，其实就是取绝对值，把负的信号弄成正的:

step3: 对整流过的信号进行包络。 求整流过的信号的包络。可以通过一个低通滤波器实现。这里我们用一个6极点butter 滤波器实现，截止频率是 10Hz。过了这个滤波器，滤波后的信号基本就成了原信号的包络。注意信号的起始位置，因为过了滤波器，所有可以看出一点点的相位滞后

step4: 给信号设置阈值，搞一个变量gated, 当原信号超过一个阈值的时候，gated=1, 否则=0

setp5： diff一把，找到信号