CF438E. The Child and Binary Tree

传送门:洛谷

解题思路:

考虑设$f(i)$为权值为$i$的二叉树的个数.根据经典套路,枚举一个节点的值,不妨枚举根节点的值.

设$g(i)$为$i$权值是否合法(也就是是否在集合$C$中)

然后我们就有:$$f(n)=\sum _{i=0}^{n}g(i)\sum _{j=0}^{n-i}f(j)\ast f(n-i-j)$$
上述式子的含义也就是枚举根节点以及根节点的左右子树的权值.
发现我们需要$f(0)=1$,但是光由上述式子并不能得到$f(0)=1$,所以我们考虑补充定义.$$f(n)=[n=0]+\sum _{i=0}^{n}g(i)\sum _{j=0}^{n-i}f(j)\ast f(n-i-j)$$
发现上述式子很显然是一个多项式卷积的式子,考虑使用多项式表示.$$F=G\ast F\ast F+1$$
考虑解出$F$,可以得到$$F=\frac{1-\sqrt{1-4G}}{2G}$$
发现若如此表示,$G$是没有逆元的.此处简要说明一下,我们多项式如果存在逆元,需要0此项系数不为0,能开根需要系数大于等于0.所以上述式子其实是不能这么表示的.但是我们只是临时的用上述式子表示,作为临时表示的式子是可以的.我们考虑将上述式子化为一个合法的式子,$$F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4G}}$$.
我们这样子改变一下之后我们的式子就是合法的了.
接下来我们只需要使用一下使用我们的多项式知识求一下逆元以及开根即可解决.

---

下面是具体的代码部分:

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}
inline void print(__int128 x){
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
#define maxn 1000000
#define int long long
const int mod=998244353;
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
int qpow(int a,int b) {
	int ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
int rev[maxn];
void NTT(int *a,int n,int inv) {
	for(int i=0;i<=n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int len=1;len<=(n>>1);len<<=1) {
		int gn=qpow(inv==1?3:qpow(3,mod-2),(mod-1)/(len<<1));
		for(int i=0;i<=n;i+=(len<<1)) {
			int g0=1;
			for(int j=0;j<=len-1;j++) {
				int x=a[i+j],y=a[i+j+len]*g0%mod;
				a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+len]=((x-y)%mod+mod)%mod;
				g0=g0*gn%mod;
			}
		}
	}
}
int INV_temp[maxn];
void INV(int *a,int *b,int deg) {
	if(deg==1) {b[0]=qpow(a[0],mod-2);return ;}
	INV(a,b,(deg+1)>>1);
	for(int i=0;i<deg;i++) INV_temp[i]=a[i];
	int limit=1,len=0;
	while(limit<=deg-1+deg-1) limit<<=1,len++;
	for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	NTT(INV_temp,limit,1);NTT(b,limit,1);
	for(int i=0;i<=limit;i++) b[i]=((2*b[i]-INV_temp[i]*b[i]%mod*b[i]%mod)%mod+mod)%mod;
	NTT(b,limit,-1);
	int inv=qpow(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<=limit;i++) b[i]=b[i]*inv%mod;
	for(int i=deg;i<=limit;i++) b[i]=0;
	for(int i=0;i<=limit;i++) INV_temp[i]=0;
}
int SQRT_temp[maxn];int SQRT_inv[maxn];
void SQRT(int *a,int *b,int deg) {
	if(deg==1) {b[0]=1;return ;}
	SQRT(a,b,(deg+1)>>1);
	for(int i=0;i<deg;i++) SQRT_temp[i]=a[i];
	int limit=1,len=0;
	while(limit<=deg-1+deg-1) limit<<=1,len++;
	for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	INV(b,SQRT_inv,deg);
	NTT(SQRT_temp,limit,1);NTT(SQRT_inv,limit,1);NTT(b,limit,1);
	for(int i=0;i<=limit;i++) 
		b[i]=(b[i]*b[i]%mod+SQRT_temp[i])%mod*SQRT_inv[i]%mod*qpow(2,mod-2)%mod;
	NTT(b,limit,-1);
	int inv=qpow(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<=limit;i++) b[i]=b[i]*inv%mod;
	for(int i=deg;i<=limit;i++) b[i]=0;
	for(int i=0;i<=limit;i++) SQRT_temp[i]=SQRT_inv[i]=0;
}
int g[maxn];int f[maxn];int SQRT_g[maxn];int INV_g[maxn];
signed main() {
	int n=read();int m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int num=read();
		g[num]=1;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		g[i]=(-4*g[i]%mod+mod)%mod;
	}
	g[0]++;g[0]%=mod;
	SQRT(g,SQRT_g,m+1);
	SQRT_g[0]++;SQRT_g[0]%=mod;
	INV(SQRT_g,INV_g,m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++) INV_g[i]=INV_g[i]*2%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		cout<<INV_g[i]<<endl;
	}
	return 0;
}