Python数据分析与机器学习35-PCA降维

一. PCA概述

PCA是Principal Component Analysis，主成分分析。

用途：
降维中最常用的一种手段

目标：
提取最有价值的信息（基于方差）

问题：
降维后的数据的意义?

二. 向量的表示及基变换

2.1 向量的表示

内积：

解释：

设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在
直线投影的矢量长度

向量的表示:
向量可以表示为(3,2)
实际上表示线性组合：

2.2 基变换

基：
(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基

基是正交的（即内积为0，或直观说相互垂直）

基是线性无关

变换：
数据与一个基做内积运算，结果作为第一个新的坐标分量，然后与第二个基做内积运算，结果作为第二个新坐标的分量

数据（3，2）映射到基中坐标：

基变换：

两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到
左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去

三. 协方差矩阵

方向：
如何选择这个方向（或者说基）才能尽量保留最多的原始信息呢？一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散

方差：

寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大

协方差（假设均值为0时）:

四. 协方差

如果单纯只选择方差最大的方向，后续方向应该会和方差最大的方向接近重合。

解决方案：
为了让两个字段尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的

协方差：
可以用两个字段的协方差表示其相关性

当协方差为0时，表示两个字段完全独立。为了让协方差为0，选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。

五. 优化目标

将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），目标是选择K个单位正交基，使原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，字段的方差则尽可能大

协方差矩阵：

矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。

协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列.

协方差矩阵对角化：

实对称矩阵：
一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量

实对称阵可进行对角化：

根据特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y

六. PCA实例

数据：

协方差矩阵：

特征值：

特征向量：

对角化：

降维：

参考：

1. https://study.163.com/course/introduction.htm?courseId=1003590004#/courseDetail?tab=1