代码随想录算法训练营第三十八天【动态规划part01】 | 动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

动态规划理论基础

什么是动态规划

动态规划 (Dynamic Programming, DP),是求解决策过程最优化的过程。

如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优。

动态规划的解题步骤

对于动态规划问题,我将拆解为如下五步曲,

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

动态规划应该如何debug

做动规的题目,写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍,心中有数,确定最后推出的是想要的结果

然后再写代码,如果代码没通过就打印dp数组,看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的,那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。

如果和自己预先模拟推导的不一样,那么就是代码实现细节有问题。

这样才是一个完整的思考过程,而不是一旦代码出问题,就毫无头绪的东改改西改改,最后过不了,或者说是稀里糊涂的过了

代码出错时的灵魂三问

  • 这道题目我举例推导状态转移公式了么?
  • 我打印dp数组的日志了么?
  • 打印出来了dp数组和我想的一样么?

509. 斐波那契数

题目链接:

力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

求解思路:

动规五部曲

  1. 确定dp数组及其下标的含义:dp[i] 为第 i 个数的斐波那契数值
  2. 确定递推公式:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  3. dp数组如何初始化:dp[0] = 0; dp[1] = 1;
  4. 确定遍历顺序:dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],遍历的顺序一定是从前到后遍历的
  5. 举例推导dp数组:当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

代码:

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        vector dp(n+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

70. 爬楼梯

题目链接:

力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

求解思路:

动规五部曲

  1. 确定dp数组及其下标的含义:爬到第i层楼梯,有 dp[i] 种方法
  2. 确定递推公式:上到第i层时,只可能从第 i-1 层或是 i-2 层上来;因此dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  3. dp数组的初始化:初始化dp[1] = 1,dp[2] = 2,然后从i = 3开始递推,这样符合dp[i]的定义
  4. 确定遍历顺序:从前向后
  5. 举例推导dp数组:举例当n为5的时候

代码随想录算法训练营第三十八天【动态规划part01】 | 动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯_第1张图片

代码:

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接:

力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

求解思路:

动规五部曲

  1. 确定dp数组及其下标含义:到达第 i 层台阶需要花费的最少体力为 dp[i]
  2. 确定递推公式:dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1];dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2],取其中的较小值
  3. dp数组的初始化:可以从第0层或第1层起跳,因此 dp[0] = 0,dp[1] = 0
  4. 确定遍历顺序:从前到后
  5. 举例推导dp数组:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1],模拟一下dp

代码随想录算法训练营第三十八天【动态规划part01】 | 动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯_第2张图片

代码:

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
        vector dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++){
            // dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]
            // dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]
            dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

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