图论-单源最短路径算法（拓扑，Dijkstra，Floyd，SPFA）

前言

单源最短路径是学习图论算法的入门级台阶，但刚开始看的时候就蒙了，什么有环没环，有负权没负权，下面就来总结一下求单源最短路径的所有算法以及其适用的情况。

单源最短路径

设定图中一个点为源点，求其他所有点到源点的最短路径。

先声明一点：有负环的图中没有最短路径

因为负环绕一圈的权值和是负的，只要过一遍环，路径就减小，可以反复过，无限减小

 

1. 无环 无负权 图求单源最短路径--拓扑排序

求v到其他所有点的最短路径

归纳假设

已知v到前面n-1个点的最短路径

求n

假设每一个点带一个属性sp，表示该点到源点的最短路径长度

设第n个点为z

我们知道所有能到z的点wk，即(wk, z)是图中的边

这样求出来wk.sp + len（wk, z）的最小值

就是z的sp

为什么要拓扑排序？

拓扑排序保证看n的时候，与n连接的前面的所有点都看了

复杂度O(V + E)

伪代码：

const int MAX = MAX_INT
for(all w){

    w.sp = MAX

}

init w.indegree DFS

w with 0 indegree, enqueue


while(!queue.empty()){

    w = dequeue();

    for(all (w, z)){

        if(w.sp + len(w, z) < z.sp){

            z.sp = w.sp + len(w, z);

        }

        z.indegree--;

        if(z.indegree = 0){

            z.enqueue();

        }

    }

}

 

2. 有环 无负权 图求单源最短路径--Dijkstra算法

前面拓扑排序的求所有点的最短路径只能是无环图

有环会导致拓扑排序无法终止

没法用

Dijkstra算法可以解决有环 无负权最短路径的问题

Dijkstra算法是求源点到其他所有点的最短路径