线代--矩阵的四大空间③:零空间

1、一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间

对于一个齐次线性方程组来说，它的所有的解中每一解都是向量，那么把这些向量(齐次线性方程组的解)集合在一起形成一个空间，其实这个空间是一个向量空间。

这个结论可以证明如下：
对于一个齐次线性方程组，它一定有解，因为至少会存在一个零解，所以它的所有解形成的空间不可能为空。

当这个齐次线性方程组只有唯一零解的时候，意味着它的解形成的空间只有一个零向量，此时这个空间的维度为，空间内向量的加法和数量乘法满足封闭性，是一个向量空间，很容易得证。

当这个齐次线性方程组有无数解的时候，求证它的解形成的空间是向量空间:
假设这个齐次线性系统的系数矩阵是一个的矩阵，那么它的每个解都是一个维向量(有序实数元组)。如果这些解形成的空间是向量空间，则一定是维空间(是向量空间)的子空间。

所以当证明齐次线性方程组的解形成的空间是维欧几里得空间的子空间，就说明它是一个向量空间。

（1）证明空间对向量加法封闭
假设向量和是齐次线性方程组的两个解
就有 ；
进而可得；
上式子意味着两向量，的和也是这个齐次线性方程组的解;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取两个向量和，还是在这个空间内，所以该空间对向量加法封闭

（2）证明空间对向量的数量乘法封闭
假设向量是齐次线性方程组的一个解
就有 , 这个等式两边同乘以一个实数，可得；
改写后可得；
上式子意味着向量也是这个齐次线性方程组的解;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取一个向量，那么这个乘以任何一个实数，结果还是在这个齐次线性方程组的解形成的空间内，所以该空间对数量乘法封闭。

>>综上，一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间得证

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2、矩阵的零空间

：一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间，称这个空间为""。

对于一个矩阵来说，它的零空间就是以为系数矩阵的齐次线性方程组中，这个线性系统所有的解组成的空间就是矩阵的零空间。

是矩阵的一个特殊的子空间,矩阵的零空间相比矩阵的行空间和列列空间要更加抽象，因为对于一个矩阵的行空间和列空间，我们可以直观的看到生成它们的就是这个矩阵的行向量和列向量，然后因为这些行向量和列向量可能线性相关，所以往往需要通过特殊的计算手段(对矩阵进行高斯消元求算矩阵的秩)来获得行空间和列空间的具体维度，进而能找到空间的一组基。相比之下，生成一个矩阵的零空间的向量，需要通过求解齐次线性方程组来获取。

对零空间的一些理解

对于线性系统，所有的组成的空间是零空间。

• 如果把矩阵看成是向量的转换函数，那么对于等式,其中系数矩阵A就可以看成是一个转换函数，零空间是一个集合，集合内的所有向量在A的变换下，都可以被映射到零点！

• 如果把矩阵看成是空间，那么就有零空间内任意向量和矩阵的行向量的点乘结果为0！
  进一步推广，因为矩阵的行空间内的任意向量都由矩阵的行向量的线性组合所表示(如)，而零空间内任意向量和矩阵的行向量的点乘结果为，就有，所以可以得出结论"对于零空间内的任意向量，和矩阵的行空间的任意向量的点乘结果为" 矩阵A的零空间与矩阵A的行空间正交。

如果是对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内是不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。

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总结

矩阵的零空间
把看作是系统: 的零空间，就是中，所有x组成的空间。
把看作是函数(变换): 的零空间，所有被变化为点的所有向量组成的空间。
把看作是空间: 的零空间，是和的行空间正交的向量空间。