分治——大整数乘法

问题描述：设X和Y是两个n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY，传统方法计算每2个1位数乘法或加法都看作一步运算，这样需要O(n²)次位运算，代价太高，现在运用分治法设计一个更有效的大整数乘法算法。

当n=1时，计算X·Y就是一次位乘。现在对X、Y进行划分，把X和Y各分为两段，每段长为n/2(假设n=2^k,k为正整数)，
X=A·2^n/2+B
Y=C·2^n/2+D

那么XY=(X=A·2^n/2+B)(Y=C·2^n/2+D)=AC2ⁿ+(AC+BD)2^n/2+BD

这样计算需要4次n/2位整数乘法(AC,AD,BC和BD),3次n/2位的加法和2次移位合并成X·Y.
T(n) = 4 T(n / 2) + θ(n) ,
根据主项定理：T(n) =O(n^log₂4)=O(n²),
代价并没有减小，可以通过减少乘法增加加法的方式减小时间复杂度，
XY==AC2ⁿ+((A-B)(D-C)+BD+AC)·2^n/2+BD

这样减少了一次n/2位的乘法，合并代价稍有增加，六次加减法、两次移位，仍为O(n)阶，
现在的时间复杂度为：
T(n) = 3 T(n / 2) + θ(n)，通过master定理求得，T(n) = O(n^{log₂ 3}) = O(n^1.59 )

C++实现代码：

#include
#include

using namespace std;

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1) 
int divideConquer(int X, int Y, int n){
    int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
    int x = abs(X);
    int y = abs(Y);
    if(x == 0 || y == 0){
        return 0;
    }else if(n == 1){
        return sign * x * y;
    }else{
        int A = (int) x / pow(10, (int)(n / 2));
        int B = x - A * pow(10, n / 2);
        int C = (int) y / pow(10, (int)(n / 2));
        int D = y - C * pow(10, n / 2);
        int AC = divideConquer(A, C, n / 2);
        int BD = divideConquer(B, D, n / 2);
        int ABDC = divideConquer((A - B), (D - C), n / 2) + AC + BD;
        return sign * (AC * pow(10 , n) + ABDC * pow(10, (int)(n / 2)) + BD); 
    }
}

int main(){
    int x, y, n;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &n);
    printf("x 和 y的乘积为：%d", divideConquer(x, y, n));
}