利用"带余除法"证明根号2是无理数

证明: 是无理数。
证明 假设是有理数,那么存在互素的正整数,满足,从而有
于是知,所以存在一个,使

代入(1)变形得:
所以,因,故。这与矛盾。假设不成立,命题成立。

评注 本题是一个古老的问题,一般使用无穷递降法解决,(2)式巧妙构造并利用带余除法,推导一个整除性矛盾,最终证明了命题。

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