Ritannn
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南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）非确定算法：随机与近似

非确定算法：随机与近似

确定性算法Deterministic algorithms

对于给定的输入，算法的输出和运行时间不变

非确定性算法Non-deterministic algorithms

对于给定的输入，算法的输出或运行时间是不确定的

  • 启发式算法Heuristic algorithms
    • 利用输入数据的特征和信息对问题进行求解
    • 尽全力逼近最优解，但是无法得知和最优解的差距
  • 近似算法Approximation algorithms
    • 对问题给出一个近似最优解（数据无关）
    • 可以给出对最优解或最优解的上下界的近似比（夹挤）
  • 随机算法Randomized algorithms
    • 随机数使算法本身成为随机变量，具有分布（数据无关）

随机算法

随机算法的优势

  1. 实现简单；
  2. 更加高效；
  3. 避开最坏情况（防hack）；

常见的随机算法

  • 数论：Miller-Rabin素数测试，Pollard-Rho素因子分解
  • 数据结构：随机平衡树，布隆过滤器，各种哈希
  • 图论：最小割，平面图上的系列随机优化
  • 代数与优化：多项式矩阵正确性测试，线性规划，整数规划

关于随机和概率的一个问题

在半径为r的圆上取一弦，弦长大于\sqrt{3}r的概率是多少？

引例：快速排序（确定性算法）

  • 代码：每次在当前子数组中的确定位置选值做划分
  • 算法的最快运行时间按为O(n log n)
  • 但永远可以构造一个（或多个）对抗样例使算法时间复杂度到O(n^2)，只要使得每次选取的值都是当前区间的最值
  • 即对于数据“明牌”了

随机化快速排序

  • 每次在区间内随机选取一个值作为分界值
  • 算法集合：每种选值策略都会对应一个新算法。
    • 共多少个？n!个，等价于洗牌shuffle后选指定位置（考虑划分树）
  • 期望时间复杂度为O(n log n)
  • 对谁的期望？关键在于：数据与算法之间的博弈
  • 对算法分布求期望（√）vs对数据分布求期望（×）
  • 在算法分布上，对任一数据求期望（为什么O(n log n)）

两个疑问

  • 洗牌算法如何实现？
    • 在n！全排列中选？
    • 现实洗牌
    • Fisher-Yates算法：
      • 对i=1,\cdot \cdot \cdot ,n，从i到n中任选一个数与a_i交换
    • 错误的Fisher-Yates算法？对i+1到n换；对1到n换
  • 为什么洗牌后，每次指定位置元素等价于每次在随机位置选元素？

随机化快速排序时间复杂度分析

  • 直接计算？对算法集合A=\left \{A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_{n!} \right \}
    • \mathbb{E}(T(A))=\sum_{k=1}^{n!}T(A_k)P(A_k)=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n!}T(A_k)
    • 其中，T(A_k)表示算法A_k中两个数发生比较的次数
  • 注意共有n！个算法，每个算法比较次数可模拟算出
  • 如n=10的T(A_k)分布：
    • 南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）非确定算法：随机与近似_第1张图片
  • 若n更大，如何估计\mathbb{E}(T(A_k))？采样！
    • 南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）非确定算法：随机与近似_第2张图片

随机化快速排序时间复杂度分析

  • 如何更有效地计算这个期望呢？（思考二项分布的期望计算）
    • 利用期望的线性性质 对样本空间进行 重新划分
    • \mathbb{E}(\sum X)=\sum \mathbb{E}(X)
  • 令S_i为数组S中第i大元素，定义如下指示器随机变量
    • X_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1,\ S_i\ and\ S_j\ are\ compared\\ 0,\ S_i\ and\ S_j\ not\ compared \end{matrix}\right.
  • 于是，随机变量T(A)（即算法的比较次数）满足
    • T(A)=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}X_{ij}
  • 因此，根据期望的线性性质有
    • \mathbb{E}(T(A))=\mathbb{E}(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX_{ij})=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\mathbb{E}(X_{ij})=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX_{ij}P(X_{ij})=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nP(X_{ij}=1)
  • P(X_{ij}=1)是多少？思考物理意义！（回顾弦问题）
    • 事件随机性来自于？
      • 等概率选取一个确定性算法，即等概率选取一个洗牌结果
    • 事件什么时候发生？
      • 在随机取得的洗牌结果中，S_i和S_j发生过比较

随机化快速排序时间复杂度分析

等概率取得的一个洗牌结果中，S_i和S_j发生过比较的概率是？

  • 考虑快速排序过程构造的划分树：即用一个二叉树，每个子树包含一个区间的所有数，根为用来划分当前区间的主元，左子树为小于主元的数，右子树为大于主元的数。
  • 重要发现：每个节点与祖先比较过，两个子树间没有比较。
  • 此时，考虑S_i,S_{i+1},\cdot \cdot \cdot ,S_j的作为主元的出现顺序，如果S_k,i<k<j更早地作为主元， S_i和S_j必在两棵子树中，只有当S_i或S_j率先作为主元时，其发生比较。
  • 随机选点时，S_i,S_{i+1},\cdot \cdot \cdot ,S_j等概率地被第一个选值，所以
    • P(X_{ij}=1)=\frac{2}{j-i+1}

随机化快速排序时间复杂度分析

\mathbb{E}(T(A))=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\mathbb{E}(X_{ij})=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nP(X_{ij}=1)=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\frac{2}{j-i+1}=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-i}\frac{2}{k+1}<\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=1}^n\frac{2}{k}=\sum_{i=1}^{n-1}O(\ln n)=O(n\ln n)

Insight：

对样本空间进行巧妙划分后，利用期望的线性性质可以解很多问题。由此，可以体会到用指示器随机变量的根本原因为：

\mathbb{E}(X)=1\times P(X=1)+0\times P(X=0)=P(X=1)

随机算法

引例：最小割Min cut

在连通无向图G=(V,E)上，至少删几条边可使原图不连通？

确定性算法

  • 根据最大流最小割定理，可以用最大流算法求得有向图上，分割源点和汇点间的最小割，常见算法约为O(n^4)-O(n^5)
  • 那么无向图、且无源点汇点的全局最小割呢？
    • 固定源点，枚举汇点，重复n次最大流找全局最小割

关于问题的思考（最优&可行）

能否给出最小割的上界？可行解里较优的？（最小度数点）

最小割的随机算法（Karger's Algorithm）

  1. 收缩操作Contraction：以均匀分布随机选择图的一条边，将边上两个点缩为一个点，并将两点间的所有边删除
  2. 重复步骤1，知道图只剩下两个点（注意此时的图不再是简单图）
  3. 最终，两点间的个数即为最小割

简单分析

  • 该贪心策略既为保证可行，也未保证最优：答案可能不是正确的！
  • 但是该算法的效率很高，时间复杂度为O(n)（n为图中点的个数）

失败案例

南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）非确定算法：随机与近似_第3张图片

成功案例

 南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）非确定算法：随机与近似_第4张图片

算法分析

有多大概率，该算法可以给出一个正确的最小割呢？

假设图中有n个点，最小割为k。此时即使最小割有多解，我们只关注其中一种，并用边集C表示（即C包含k条边）。于是，问题转为求在n-2次收缩操作中，均为选中C中边的概率。

  • 首先，显然图中至少有\frac{kn}{2}条边
  • 令事件\varepsilon _1为第i次收缩时，没有选C中边，那么对第一次
    • P(\varepsilon _1)\geq 1-\frac{k}{kn/2}=1-\frac{2}{n}
  • 在第一次的基础上，第二次收缩为
    •  P(\varepsilon_2|\varepsilon_1)\geq 1-\frac{k}{k(n-1)/2}=1-\frac{2}{n-1}
  • 于是在第i次收缩时
    • P(\varepsilon_i|\bigcap_{j=1}^{i-1}\varepsilon_j)\geq 1-\frac{2}{n-i+1}
  • 由条件概率公式可得n-2次都为选C中边的概率为
    • P(\bigcap_{i=1}^{n-2}\varepsilon_i)\geq \prod_{i=1}^{n-2}\frac{n-i-1}{n-i+1}=\frac{2}{n(n-1)}\geq \frac{2}{n^2}
  • 从未选中C中边的概率大于\frac{2}{n^2}，即算法成功率大于\frac{2}{n^2}
  • 此时如果拖过重复执行\frac{n^2}{2}次算法，全部失败的概率为
    • P(fail)\leq (1-\frac{2}{n^2})^{\frac{n^2}{2}}<\frac{1}{e}
  • 换言之，在O(n^3)时间内，以超过1-\frac{1}{e}的概率找到最小割
  • 当重复足够多次后，找不到最小割的概率将会是无穷小

随机算法

两类随机算法

注意所有的随机性与数据无关

拉斯维加斯算法Las Vegas algorithms：随机化快速排序

  • 算法永远输出正确的结果，但是算法的运行时间是随机的
  • 主要用来防止针对性的最坏时间复杂度发生

蒙特卡罗算法Monte Carlo algorithms：最小割随机算法

  • 算法会输出错误结果，但错误率有上界，运行时间也随机
  • 主要用来使”难题“可解，并且快速求解
  • 通常需要独立重复执行，但需注意如何整合多次执行的结果

两类随机算法之间的转化

拉斯维加斯算法➡蒙塔卡罗算法

  • 只需要让一个拉斯维加斯算法在指定时间内停止
  • 得到的蒙特卡罗算法的错误率上界由马尔可夫不等式得到
    • P(X>t)\leq \frac{\mathbb{E}(X)}{t}

蒙塔卡罗算法➡拉斯维加斯算法

  • 当存在一个快速验证解的方法时可转化（NP问题）
  • 重复执行蒙塔卡罗算法知道找到正确解

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    1.index.jsp页面form标签未指定namespace属性。 <!--index.jsp代码--> <%@taglib prefix="s" uri="/struts-tags"%> ... <s:form action="submit" method="post"&g
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    使用redis时为了使用hash追求更高的内存使用率，我们一般都用hash结构，并且有时候会把hash_max_zipmap_entries这个值设置的很大，很多资料也推荐设置到1000，默认设置为了512，但是这里有个坑   #define ZIPMAP_BIGLEN 254 #define ZIPMAP_END 255     /* Return th
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        随着webService的崛起，我们开始中会越来越多的使用到访问远程webService服务。当然对于不同的webService框架一般都有自己的client包供使用，但是如果使用webService框架自己的client包，那么必然需要在自己的代码中引入它的包，如果同时调运了多个不同框架的webService，那么就需要同时引入多个不同的clien
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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他