[矩阵论] Unit 6. 矩阵的 Kronecker 积与 Hadamard 积 - 知识点整理

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• 参考: 杨明, 刘先忠. 矩阵论(第二版)[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005

6 矩阵的 Kronecker 积与 Hadamard 积

6.1 Kronecker 积与 Hadamard 积的定义

K-积和 H-积定义

K-积:
$$A_{m\times n}\otimes B_{s\times t}=[a_{ij}B{]}_{ms\times nt}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ a_{21}B& \cdots & a_{2n}B\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]$$
(用 $A$ 膨胀 $B$, 以 $B$ 作为基础)

H-积:
$$A_{m\times n}\circ B_{m\times n}=[a_{ij}{b}_{ij}{]}_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}& \cdots & a_{1n}{b}_{1n}\\ a_{21}{b}_{21}& \cdots & a_{2n}{b}_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}{b}_{m1}& \cdots & a_{mn}{b}_{mn}\end{array}\right]$$
(要求 $A$ 和 $B$ 大小一致)

K-积 H-积的基本结果

• 分块矩阵 $A=(A_{st})$: $A\otimes B=(A_{st}\otimes B)$
• $A$ 和 $B$ 有一个零矩阵, 则 $A\otimes B=0,A\circ B=0$
• $I_{m\times n}\otimes I_{s\times t}=I_{ms\times nt},I\circ I=I$
• $A$ 为对角矩阵, 则 $A\otimes B$ 为分块对角矩阵, $A\circ B$ 为对角矩阵

K-积 H-积的基本性质

• $(kA)\otimes B=A\otimes (kB)$
  $(kA)\circ B=A\circ (kB)$
• $A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$
  $A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C$
• $(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$
  $(A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ C)$
• $(A\otimes B{)}^H=A^H\otimes B^H$
  $(A\circ B{)}^H=A^H\circ B^H$
• $A\otimes B\ne B\otimes A$ (膨胀的矩阵不同)
  $A\circ B=B\circ A$

K-积与H-积关系

$A\circ B$ 可由 $A\otimes B$ 的元素构成.

K-积与矩阵乘法

$$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)\text{(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)}(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$$

6.2 Kronecker 积与 Hadamard 积的性质

K-积的矩阵性质

• $rank(A\otimes B)=rank(A)\times rank(B)$
• $(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$
• $|A_{m\times m}\otimes B_{n\times n}|=|B\otimes A|=|A{|}^n|B{|}^m$ (注意 $m,n$ 是放在对方矩阵上)
• $A,B$ 是 Hermite 矩阵 ⇒ $A\otimes B,B\otimes A$ 是 Hermite 矩阵
• $A,B$ 是酉矩阵 ⇒ $A\otimes B,B\otimes A$ 是酉矩阵
• $A,B$ 是(半)正定矩阵 ⇒ $A\otimes B,B\otimes A$ 是(半)正定矩阵

K-积与矩阵等价相似

• $A$ 等价于 $B$ ⇒$A\otimes I$ 等价于 $B\otimes I$
• $A\sim J_A,B\sim J_B$ ⇒ $(A\otimes B)\sim (J_A\otimes J_B)$

K-积与特征值特征向量

$A\in F^{m\times m}$, 特征值特征向量为 ${\lambda }_i,x_i,i=1,2,...,m$
$B\in F^{n\times n}$, 特征值特征向量为 ${\mu }_j,y_j,j=1,2,...,n$

• $A\otimes B$ 的特征值 ${\lambda }_i{\mu }_j$, 对应特征向量 $x_i\otimes y_i,i=1,2,...,m;j=1,2,...,n$
• K-和: $A\oplus B=(A\otimes I_n)+(I_m\otimes B)$ 的特征值 ${\lambda }_i+{\mu }_j$, 对应特征向量 $x_i\otimes y_i,i=1,2,...,m;j=1,2,...,n$
• $P(A,B)={\sum }_{i,j=0}^T{c}_{ij}{A}^i\otimes B^j$ 的特征值: $P({\lambda }_r,{\mu }_t)={\sum }_{i,j=0}^T{c}_{ij}{\lambda }_r^i{\mu }_t^j$

K-积与矩阵函数

• $f(I\otimes A)=I\otimes f(A),S_N(I\otimes A)=I\otimes S_N(A)$
• $f(A\otimes I)=f(A)\otimes I,S_N(A\otimes I)=S_N(A)\otimes I$
• $e^{I_m\otimes A}=I_m\otimes e^A$
• $e^{A\otimes I_m}=e^A\otimes I_m$
• $e^{A\oplus B}=e^A\otimes e^B=e^B\otimes e^A$

H-积的性质

• $A,B$ 是(半)正定矩阵 ⇒ $A\circ B=B\circ A$ 是(半)正定矩阵

6.3 矩阵的向量化算子与 Kronecker 积

向量化算子定义

Def 6.2: 设 $A\in F^{m\times n}$ 是 $m\times n$ 阶矩阵, $A=(A_1,A_2,...,A_n)=[a_{ij}{]}_{m\times n}$, 其中 $A_i\in F_m$ 是 $A$ 的第 $i$ 列, 则 $A$ 的向量算子 $\text{Vec}(A)$, 定义为:
$$\text{Vec}(A)={\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ \cdots \\ A_n\end{array}\right]}_{mn}=(a_{11},a_{21},...,a_{m1},a_{12},...,a_{m2},...,a_{1n},...,a_{mn}{)}^T$$
(将矩阵按列展开, 合成一个一维列向量)

向量化算子性质

• $\text{Vec}(x_n)=\text{Vec}(x^T)=x_n$
• $\text{Vec}(x_{m\times 1}{y}_{n\times 1}^T)=x\otimes y$
• $\text{Vec}(aA+bB)=a\text{Vec}(A)+b\text{Vec}(b)$
• $\text{Vec}(ABC)=(C^T\otimes A)\text{Vec}(B)\text{Vec(ABC)=(CT⊗A)Vec(B)}\text{Vec}(ABC)=(C^T\otimes A)\text{Vec}(B)$
• $\text{Vec}(AX)=(I\otimes A)\text{Vec}(X)$
• $\text{Vec}(XC)=(C^T\otimes I)\text{Vec}(X)$

向量化算子求解矩阵方程

思路:
$$A=B+C\Rightarrow \text{Vec}(A)=\text{Vec}(B)+\text{Vec}(C)$$

• 一般对未知数 $X$ 进行向量化
• 必要时在 $X$ 左右添加 $I$ 凑 $AXB$ 形式
• 向量化时为保证等式仍成立, 需要对每个项都选一个矩阵进行向量化
• 化为先前的 $AX=b$, $X^{\prime }(t)=AX(t)$ 等形式求解