算法竞赛入门——递归剪枝

本题是一道简单的递归与递推题
数的计算
首先对递归分析,从最大的数字n开始,左边的数字最大可以是n/2枚举n/2到1个各有几种排序求和即为答案
例如样例中的6,我们只需要知道以3为起始能有几种组合分别为3,13,加上2为起始2,1 2,与1 那么我们可以知道6为f(1)+f(2)+f(3).

解法1:未剪枝递归

#include 
using namespace std;

int f(int n){
    if(n == 1) return 1;
	int result = 0;
    for(int i = 1; i <= n/2; ++i)  //通项
        result += f(i);
    return result + 1;  //算上自己
}

int main(){
    int n; cin>>n;
    cout<<f(n);
}

算法复杂度:
可以分析递归复杂度为O(n^n)复杂度极高

解法二:记忆化搜索

递归常用优化手段就是递归搜索
记忆剪枝 O(n^2)

#include
using namespace std;
int n;
long long  rem[1005] = {0,1},ans;
long long dfs(long long n)
{   
	if (rem[n])return rem[n];//记忆化优化核心语句
	else 
	{
		for (int i = n / 2; i >= 1; i--)
			rem[n] += dfs(i);
	}
	return rem[n]=rem[n]+1;//赋值

}
int main()
{  
	cin >> n;
	dfs(n);
	cout << rem[n];
	return 0;
}

解法三:递推

算法复杂度:O(n^2)
既然有办法递归那就一定有办法递推
从最小值1 开始我们知道f(1)=1;那利用上述思路暴力模拟一遍

#include 
using namespace std;

int f[1005];

int main(){
    int n; cin>>n;
    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i/2; ++j)  //通项
            f[i] += f[j];
        f[i] ++;  //算上自己
    }
    cout<<f[n];
}

解法四:前缀和优化递推递归

时间复杂度:O(n)=O(n)+O(n);
在每次计算中我们都需要进行从1-n/2的累加,其实这就是前缀和的应用,那么如何利用它来优化递推与递归呢.
假设sum数组为前缀和数组,那么f(n)=sum(n/2)+1,sum(n)=sum(n-1)+f(n);

#include
using namespace std;
int n;
long long  rem[1005] = { 0,1 }, sum[505] = {0,1};
long long f(long long n);
long long s(long long n);
long long f(long long n)
{   
	if (rem[n])return rem[n];
	else rem[n] = s(n / 2) + 1;
	return rem[n];
}
long long s(long long n)
{
	if (sum[n])return sum[n];
	else sum[n] = f(n) + s(n - 1);
	return sum[n];
}
int main()
{  
	cin >> n;
	f(n);
	cout << rem[n];
	return 0;
}

#include 
using namespace std;

int f[1005], sum[505];

int main(){
    int n; cin>>n;
    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        sum[i/2] = sum[i/2 - 1] + f[i/2];
        f[i] = sum[i/2] + 1;
    }
    cout<<f[n];
}

其它优化的点

1.我们可以发现当i为偶数时f(i+1)=f(i);s(i+1)=f(i);这样可以将O(n)->O(n/2);

#include
using namespace std;
int main(){
    int n,cnt=1,i,f[1010];
    f[0]=f[1]=1;
    scanf("%d",&n);
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(i%2==0){
            f[i]=f[i-1]+f[i/2];
        }else{
            f[i]=f[i-1];
        }
    }
    printf("%d\n",f[n]);
}

2.f(i)可以用动态缓存的方式记录。并且，每一个f[i]的调用都是先进先出的，因此可以采用队列。。.sum只要求到n/2就可以求出f[n]，sum只要求到n/4就可以求出f[n/2]。

因此，sum求到n/4（此时积累了n/4的缓存），然后卸载缓存到f[n/2]求得sum[n/2]，即可求出f[n]。

#include 
using namespace std;

queue<int> f; int sum = 0; //sum[0] = 0

int main(){
    int n; cin>>n;
    int i;
    
    f.push(1); 
    for(i = 1; i <= (n >> 2); i++){
		sum += f.front(); f.pop();  
		f.push(sum+1); f.push(sum+1);
	}
    for(     ; i <= (n >> 1); i++){
		sum += f.front(); f.pop();  
    }

    cout<< sum + 1;
}

总结:

这是一道思路相当简单的一道题,在不断优化的过程中要求我们对该题每个特点都十分熟悉,在这一过程中,不断强化思维能力,同时对算法有更加深刻的理解.