MIT_线性代数笔记：第 08 讲 求解 Ax=b：可解性与结构

可解的条件 Solvability conditions on b

矩阵 A 的第三行为第一行和第二行的加和，因此 Ax=b 中 b 的第 3 个分量也要等于其第 1 和第 2 个分量的和。若 b 不满足 b3=b1+b2则方程组无解。

检验 Ax=b 是否可解的方法是对增广矩阵进行行消元。如果矩阵 A 的行被完全消去的话，则对应的 b 的分量也要得 0。在本例中，矩阵 A 的第三行被消去：

如果 Ax=b 有解，则 b3-b1-b2=0。在本例中我们令
A = [ 1 5 6 ] A=\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} A= ​156​ ​
可解的条件：只有当b处于矩阵的列空间C ( A )之中时，方程才有解。
等价的另一种描述方式为：矩阵A的行向量若经过线性组合为零向量时，则对应的b经同样的线性组合后也为0

特解 A particular solution

求 Ax=b 特解的方法是将自由变量均赋值为 0，求解其主变量。
本例中，令 x2=x4=0 得到方程组：
$$\begin{array}{rl}& x1+2x3=1\\ & 2x3=3\end{array}$$

通解 Complete solution

为求得 Ax=b 的所有解，我们首先检验方程是否可解，然后找到一个特解。将特解和矩阵零空间的向量相加即为方程的通解。

与零空间进行线性组合 Combined with nullspace

$$\begin{array}{rl}& Axp=b\\ & Axn=0\\ & A(xp+xn)=b\end{array}$$
Ax=b 的通解为 xcomplete=xp+xn，其中 xn 为矩阵零空间中的一般向量。将Axp=b 和 Axn=0 相加可得 A(xp+xn)=b。
将A 转换成rref，则结果如下所示：


式中 c1和 c2为任意实数。 矩阵的零空间 N(A)是 R4空间中的二维子空间，方程的解 Ax=b 构成了穿过 xp点并和矩阵零空间平行的“平面“。但该”平面“并不是 R4空间的子空间。

秩 Rank

矩阵的秩等于矩阵的主元数。如果 mxn 矩阵的秩为 r，则必有 r<=m且r<=n。
讨论满秩（full rank）的情形：
• 列满秩：r=n。每列都有主元，x 的每一个分量都是主变量，没有自由变量。零空间 N(A)之内只有零向量。方程无解或者有唯一解 xp。

• 行满秩：r=m。每行都有主元，无论 b 取何值，方程 Ax=b 都有解。主变量 r 个，自由变量 n-r 个。

• 满秩 r=m=n，矩阵可逆。零空间只有零向量，无论 b 取何值，方程 Ax=b都有唯一解。

总结：

秩决定了方程组解的数量。