高中奥数 2021-09-15

2021-09-15-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P044 习题05）

已知一个圆与的边、相切,也和的外接圆相切于点.若是的内心,证明:.

证明

如图,设小圆圆心为,半径为,大圆圆心为,半径为,且与、分别切于、两点.

图1

连结、交于点.

下面证明.

延长交于点,易知平及.

则关于的幂为.

故.

于是,有.

从而.

连结、有,.

从而,.

故.

过点作两圆的公切线,于是有,.

则.

同理.

故命题得证.

2021-09-15-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题06）

设的外接圆为,圆心为的圆与线段切于点,与不含点的弧切于点.若,证明:.

证明

若,则点、均在的角平分线上,.

若,如图,设的外接圆的圆心为,的中垂线与交于点、,其中,,在的同侧.

图2

则、、三点共线.

由,则、、三点共线.

设与交于点.

由,得.

因为,所以.

从而,为与的切点,即.

这也就意味着、、三点共线,且有.

又,则.

从而、、、四点共圆.

故.